N´>2Mεが条件として必要な理由は次のとおりです。 任意の正のεに対して、N´個の項の和がε以下になるようなNを定めることができるようにするためです。 N´個の項の和がε以下になると、{(a_1+a_2+...+a_n)/n}もε以下になります。 具体的には、次のようにして証明できます。 任意の正のεに対して、 |a_n - a| < ε を満たすようなn_0を定めます。 次に、 N´ = 2Mεn_0 と定めます。 すると、 |a_{n_0} + a_{n_0 + 1} + ... + a_{n´} - na| = |a_{n_0} - a| + |a_{n_0 + 1} - a| + ... + |a_{n´} - a| < (n_0 + 1)ε = 2Mε となります。 したがって、 |{(a_1+a_2+...+a_n)/n} - a| = |(a_1+a_2+...+a_{n´})/n - a| < (2Mε)/n = 2Mε/N´ < ε となります。 以上から、任意の正のεに対して、N´個の項の和がε以下になるようなNを定めることができることがわかります。 N´>2Mεという条件は、a_nが線形収束する場合に必要な条件です。a_nが非線形収束する場合、この条件は必要ありません。