数学者がよく、「上から抑える」という表現を使いますが、具体的にどういう意味でしょうか?

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ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2023/12/4 15:24

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何らかの関数の値域、変数の定義域に上界が存在することに言及すること。

例えば数列{1- 1/n}は 1-1/n ≤1, ∀n∈ℕ なので、上から1で抑えられます。

無限和 1+1/2²+1/3²+1/4²+... について考えます。 1/2²<1/(1・2) 1/3²<1/(2・3) 1/4²<1/(3・4) ・・・・・・・ 1/n²<1/((n-1)n) であり 1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+...+1/((n-1)n) ={1-(1/2)}+{(1/2)-(1/3)}+{(1/3)-(1/4)}+...+{1/(n-1)-(1/n)} =1-(1/n) であることから 1+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²<1+1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+...+1/(n(n-1)) =1+1-(1/n)=2-(1/n)<2 より 1+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²<2 が成り立ちます。 1,1+1/2², 1+1/2²+1/3², ... , 1+1/2²+1/3²+...+1/n², ... は単調増加列であり、2を超えることはないので、ある値に収束します。 この中で 1+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²<1+1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+...+1/((n-1)n) とその結果としての 1+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²<2 が「上から抑える」という部分です。

例えば、xを変数にもつ関数f(x)が関数g(x)を超えない状態になる場合に 「g(x)がf(x)を上からおさえる」のように使います。

話題にしている式以上になる表式を与えること。