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材料力学で「たわみ問題を面積モーメント法で解け」という問題です。

jpk********さん

2009/11/2502:52:59

材料力学で「たわみ問題を面積モーメント法で解け」という問題です。

面積モーメント法を用いたたわみの問題について教えて下さい。

スパンL、突出部の長さa、の単純支持はりに
AC間に等分布荷重wをかける。

このとき、面積モーメント法を用いて突出部の先端Bのたわみδbを求めよ。

という問題なのですが、どなたか教えていただけないでしょうか。

補足答えは

δb=waL^3/24EI

となるそうです

たわみ,面積モーメント法,突出部,曲げモーメント,せん断力,共役梁,たわみ問題

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xx_********さん

編集あり2009/11/2513:14:54

●面積モーメント法
面積モーメント法というのは、曲げモーメントを梁の剛性で割ったものを共役梁に載荷すると、それで算出されるせん断力がたわみ角に、曲げモーメントがたわみになるというものです。

順に距離で積分していくと、
分布荷重→せん断力→曲げモーメント→たわみ角→たわみ
となることを応用したものです。

では、順に解いてみましょう。図も描いてみましたので、合わせてご覧ください。

●曲げモーメントを算出
この梁は、単純梁の一方が張出梁になっていますが、その部分に荷重は載っていないので、曲げモーメントは単純に放物線分布となり、A-Cの支間中央で、
M=1/8×WL^2
となります。添付図の上段参照

●共役梁
共役梁は曲げモーメントから、たわみ角やたわみを求めるときに使います。支点条件に応じて、以下のように変換します。
端支点 → 端支点
中間支点→ ヒンジ
自由端 → 固定支点

支点Aは端支点ですからそのまま、支点Cはヒンジに変え、自由端Bは固定支点になります(添付図下段参照)

●弾性荷重を載せる
先ほど計算した曲げモーメントを梁の曲げ剛性EIで割ったもの(=弾性荷重)を共役梁に載荷します。この荷重は放物線分布となり、支間中央が
1/8EI×WL^2
となります。

さて、ほしいのは自由端Bのたわみですから、共役梁固定支点Bの曲げモーメントをもとめればよいわけです。
ここで、共役梁のACに注目すれば、この部分は単純梁と見なすことができます。したがって、支点Aの反力と、ヒンジCに作用する鉛直反力(せん断力)は等しくなります。
また、放物線分布の面積は、長さ×高さ×2/3で表すことができますので、弾性荷重の総計は、
R = (1/8EI×WL^2) × L × 2/3
= 1/12EI×WL^3
となります。

このRの半分が、ヒンジCに作用します。梁BCは片持ち梁ですから、固定支点Bにおける曲げモーメントは、
Mb' = P×a
= (1/2×R)×a
= 1/2×(1/12EI×WL^3)×a
= 1/24EI×WaL^3
= WaL^3/24EI

弾性荷重を共役梁に作用させたので、このMb'がすなわちδbとなります。

●面積モーメント法...

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