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物理の問題です。どなたか教えてください。

gor********さん

2010/1/2717:01:21

物理の問題です。どなたか教えてください。

図のように、長さLの弦をX軸に沿って張力Tで張り、端からの距離aの位置に質量mの質点を取り付ける。この質点のy軸方向の微小振動を調べる。ただし、弦の質量は無視できるものとする。

(1)質点の変位が微小であれば、質点の変位による弦の伸びは高次の微小量として無視でき、張力は一定とみなすことができることを示せ。
(ヒント;x=aでの微小変化をu(微小量)として、弦の伸びを計算すれば伸びはuの高次の微小量となるはず。)


(2)上の(1)の近似のもとで運動が単振動になることを示し、振動数を求めよ。


(3)振動数を最小にするaを求めよ。

携帯で図をとったので見ずらくてすいません。
回答お願いします!!

質点,張力,変位,微小量,高次,LA,t-1

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ベストアンサーに選ばれた回答

chi********さん

2010/1/2719:18:48

(1)
弦の伸び=(a^2+u^2)^(1/2)+((L-a)^2+u^2)^(1/2)
=a(1+(u/a)^2)^(1/2)+(L-a)(1+(u/L-a)^2)^(1/2)
≒a(1+(1/2)(u/a)^2)+(L-a)(1+(1/2)(u/L-a)^2)
=0( u^2はuに対し高次で無視できる)

左の張力をT1、右の張力をT2とすると
左右方向のつりあいより
T1a/(a^2+u^2)^(1/2)=T1(L-a)/((L-a)^2+u^2)^(1/2)
上と同じ近似をすると
T1=T2

(2)
左の角度をθ1、右の角度をθ2とすると
運動方程式
md^2u/dt^2=-Tsinθ1-T2sinθ2
≒-Ttanθ1-T2tanθ2
=-Tu/a-Tu/(L-a)
∴md^2u/dt^2=-TL/{a(L-a)}・u
これは単振動の方程式。
f=(1/2π)(TL/{a(L-a)})^(1/2)
(3)
(2)より、fが最小になるのは
a(L-a)が最大のとき。

これは a=L/2 のとき最大。

質問した人からのコメント

2010/1/27 19:35:32

丁寧な解説ありがとうございました!!

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