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y=x^2-3x+2とy=mxで囲まれた図形の面積S2がS1の16√2倍となるのは,m=(ア),m=-...

nua********さん

2010/3/400:18:38

y=x^2-3x+2とy=mxで囲まれた図形の面積S2がS1の16√2倍となるのは,m=(ア),m=-(イ)の場合である。
※S1=1/6である。

解法を教えてください。

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nam********さん

2010/3/400:30:07

図を描けばわかると思いますが、
S2の面積を求めるにはf(x)=mx-(x^2-3x+2)の積分ですね。
あとは
S1*16√2=S2
に代入すればmが求まるはずです。

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aqu********さん

2010/3/401:59:25

y=x^2-3x+2とy=mxの交点のx座標を a, b ただし a<bとすると、
S2 =∫[a→b] (mx-x^2+3x-2)dx
= ∫[a→b] {-x^2 +(3+m)x - 2}dx

一方一般に
∫[a→b] -(x-a)(x-b)dx = (b-a)^3/6 ・・・(1)
である。(証明略。教科書にあると思います)

a,b は
-x^2 +(3+m)x - 2 = 0 の解であるから、
a = {(3+m)-√{(3+m)^2-8}}/2
b = {(3+m)+√{(3+m)^2-8}}/2
(1) にあてはめて、
S2 = (b-a)^3/6 = √{(3+m)^-8}^3/6

一方、
S2 = 16√2 S1 = 16√2 / 6
であることがわかっているので、

( √{(3+m)^2-8})^3 = 16√2 = (2√2)^3
よって、
√{(3+m)^2-8} = 2√2 = √8
(3+m)^2-8 = 8
(3+m)^2 = 16
(3+m) = ± 4
m = 1, -7

tos********さん

2010/3/401:06:00

...y=x^2-3x+2...①
...y=mx.............②
①と②の交点のx座標をα、β(α<β)とすると
..x^2-3x+2=mxから
..x^2-(3+m)x+2=0
解と係数の関係から、
..α+β=3+m・・・③
......αβ=2......・・・④
..(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ
....................=(m+3)^2-8
....................=m^2+6m+1
α<βより、
β-α=√(m^2+6m+1)=Aとすると・・・⑤
β^2-α^2=(β-α)(β+α)
.................=(m+3)√(m^2+6m+1)
.................=(m+3)A・・・⑥
β^3-α^3=(β-α)^3+3αβ(β-α)
.................=(m^2+6m+1)√(m^2+6m+1)+6√(m^2+6m+1)
.................=(m^2+6m+7)A・・・⑦
------------------------------
①のグラフが上に開いた放物線になるので、
①と②でかこまれた図形において、
②のグラフは、①のグラフより上にある。
------------------------------
...よって、囲まれた図形の面積は
...
....β
..-∫{x^2-(3+m)x+2}dx
....α
..
................................................β
=-[(1/3)x^3-{(3+m)/2}x^2+2x]
................................................α
..
=-(1/3)(β^3ーα^3)+{(3+m)/2}(β^2-α^2)-2(β-α)
..
=-(1/3)(m^2+6m+7)A+{(m+3)/2}(m+3)A-2A
..
=-(A/6)(2m^2+12m+14-3(m+3)^2+12)
..
=-(A/6)(-m^2-6m-1)
..
=A^3/6
------------
よって、
A^3/6=(1/6)・16√2
....A^3=16√2
....A^3=2^4・2^(1/2)
....A^3=2^(9/2)
....A^3={2^(3/2)}^3
よって、
....A=2^(3/2)
....A=2√2
ここで、A=√(m^2+6m+1)だったから
..√(m^2+6m+1)=2√2
両辺を2乗して
..m^2+6m+1=8
,,m^2+6m-7=0
..(m+7)(m-1)=0
..よって、m=1,-7

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