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整数問題です。 よろしくお願いします!

x1q********さん

2010/4/1420:38:41

整数問題です。
よろしくお願いします!

48x+539y=77を満たす整数x,yをすべて求めよ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

osh********さん

編集あり2010/4/1421:29:52

無数に解があるので、すべてを挙げきることはできません。
しかし、解を次のように表すことはできます。

48x+539y=77 ・・・・・・・・・・・・①
を次のように変形していきます。
48x+48・11y+11y=77
48(x+11y)=11(7-y)
左辺は48の倍数であり、11と48は共通な約数がないから
7-y は48の倍数でなければなりません。
よって
7-y=48m (m:整数)とおけます。
∴ y=7-48m ・・・・・・・・・・②

これを①に代入して
48x+539(7-48m)=77
48x+3773-25872m=77
48x=25872m-3696
∴ x=539m-77 ・・・・・・・・・③

②③より、あらゆる整数mに対して
(x,y)=(539m-77 ,7-48m) であるような
x,yの組はすべて①を満たし、解となります。 (答)

----------------------
例えば
m=0 のとき・・・(x,y)=(-77 ,7)
m=1 のとき・・・(x,y)=(462 ,-41)
m=-1のとき・・・(x,y)=(-616 ,55)
・・・・
など、すべて解となります。(①に代入して、確認してみてください)

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

all********さん

2010/4/1509:56:11

.....48x+539y=77・・・・①
において、539=11*7*7だから
x=-77,y=7が、整数解の1つである。
つまり、
.....48*(-77)+539*7=77・②
①-②から
.....48(x+77)+539(y-7)=0
...∴48(x+77)=-539(y-7)
ここで、
48と539は互いに素だから
x+77=539k,y-7=-48k(k:整数)と、おける。
∴ x=539k-77,y=7-48k(k=0,±1,±2,±3.....)・・Ans.

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