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【至急!!】閉集合か否かの判定問題なのですが…。

pot********さん

2010/4/2622:12:03

【至急!!】閉集合か否かの判定問題なのですが…。

実数Rの部分集合A={1/n|n=1,2,…}は実数Rの閉集合でないというのは、集積点がAに含まれていないということから理解できてのですが、


① 実数Rの部分集合B=AU{0} は実数Rの閉集合になるのでしょうか。

② 実数Rの部分集合C={1/n|n=1,2,…,N} は孤立点の集まりと考えて、閉集合と決定してもいいのでしょうか。


以上2点について、わかる方がおられましたら、教えてください。お願いします。

補足回答ありがとうございます。
補集合をとれば…ということですが、Aについても補集合をとるとAも閉集合になってしまう気がするんです。

Aの補集合から任意に点を取り、そこから最も近い1/nの値を見つけ、うまくε近傍をとることができると思うんですが…。
すると、Aについても補集合が空集合であり、A自体は閉集合ということになってしまいます。

補足に書いた考えの中のどこに間違いがあったのでしょうか。
ご指摘よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ilo********さん

2010/4/2622:23:21

いずれも閉です。

補集合を考えるとどちらも開集合になっています。

質問した人からのコメント

2010/4/27 01:30:55

お二人ともありがとうございました。本当に助かりました。
確かに、Aの補集合から点Oをとって考えるとAは開集合になりませんよね。

BAは先に回答してくださったilovedolphin5024404さんにさせていただきますが、お二人の回答を合わせて考慮して答えが出せたので、本当はお二人ともにBAをさし上げたいぐらいです。
本当にありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

別にここでBAはいらないが・・・
『Aの補集合から任意に点を取り、そこから最も近い1/nの値を見つけ、うまくε近傍をとることができると思うんですが…。
すると、Aについても補集合が空集合であり、A自体は閉集合ということになってしまいます。
』とあるが間違ってる。
Aは点0を含まない。ここはいいね?だからAの補集合は点0を含む。点0の近傍には必ずAの点を含んでいるから、点0はAの補集合の内点ではない。そうするとAの補集合は開集合ではなく、Aは閉集合ではない。
ねんのため書くと、Aは開集合でも閉集合でもないということだ。

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