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任意の定数A、Bに対してy=Asin(kx)+Bcos(kx)は、微分方程式 y''-k^2y=0 の...

abc********さん

2010/5/1819:13:07

任意の定数A、Bに対してy=Asin(kx)+Bcos(kx)は、微分方程式
y''-k^2y=0
の解であることの証明をお願いします。
もしよければy=Asinh(kx)+Bcosh(kx)がy''-k^2y=0の解であることの証明もお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kji********さん

2010/5/1820:28:47

y’’ + k^2 y = 0 の一般解が y = A sin(kx) + B cos(kx) であることと、
y’’ - k^2 y = 0 の一般解が y = A sinh(kx) + B cosh(kx) であること
の証明の仕方( A, B は任意の定数)。

解になっていることは、代入すればすぐにわかるので簡単過ぎますから、
設問で求めているのは、
本当は、一般解がそれであることの証明、
つまり、それ以外に解が無いことの証明
ではないでしょうか?

■ y’’ + k^2 y = 0 の一般解。

y’’ + k^2 y = 0
y’’ cos(kx) + k^2 y cos(kx) = 0 .... ← 両辺に cos(kx) を掛けた。
y’’ cos(kx) + k y (sin(kx))’ = 0
y’’ cos(kx) - k y’sin(kx) + k y’sin(kx) + k y (sin(kx))’ = 0
y’’ cos(kx) + y’(cos(kx))’+ k (y’sin(kx) + y (sin(kx))’) = 0
(y’cos(kx))’+ k (y sin(kx))’ = 0
(y’cos(kx) + k y sin(kx))’ = 0
y’cos(kx) + k y sin(kx) = A ( A は任意の定数)
y’cos(kx) - y (cos(kx))’ = A
y’cos(kx) - y (cos(kx))’ - A = 0
(y’cos(kx) - y (cos(kx))’)/cos(kx)^2 - A/cos(kx)^2 = 0
(y/cos(kx))’- A (tan(kx))’ = 0
(y/cos(kx) - A tan(kx))’ = 0
y/cos(kx) - A tan(kx) = B ( B は任意の定数)
y/cos(kx) - A (sin(kx)/cos(kx)) = B
y - A sin(kx) = B cos(kx)
y = A sin(kx) + B cos(kx)

各変形で同値が保たれている筈ですから、これ以外に解はありません。


■ y’’ - k^2 y = 0 の一般解。

y’’ - k^2 y = 0
y’’ cosh(kx) - k^2 y cosh(kx) = 0
y’’ cosh(kx) - k y (sinh(kx))’ = 0
y’’ cosh(kx) + k y’sinh(kx) - k y’sinh(kx) - k y (sinh(kx))’ = 0
y’’ cosh(kx) + y’(cosh(kx))’ - k (y’sinh(kx) + y (sinh(kx))’) = 0
(y’cosh(kx))’ - k (y sinh(kx))’ = 0
(y’cosh(kx) - k y sinh(kx))’ = 0
y’cosh(kx) - k y sinh(kx) = A ( A は任意の定数)
y’cosh(kx) - k y sinh(kx) - A = 0
y’cosh(kx) - y (cosh(kx))’ - A = 0
(y’cosh(kx) - y (cosh(kx))’)/cosh(kx)^2 - A/cosh(kx)^2 = 0
(y/cosh(kx))’ - A (tanh(kx))’ = 0
(y/cosh(kx) - A tanh(kx))’ = 0
y/cosh(kx) - A tanh(kx) = B ( B は任意の定数)
y/cosh(kx) - A (sinh(kx)/cosh(kx)) = B
y - A sinh(kx) = B cosh(kx)
y = A sinh(kx) + B cosh(kx)

各変形で同値が保たれている筈ですから、これ以外に解はありません。

質問した人からのコメント

2010/5/18 20:42:29

成功 とても丁寧な回答ありがとうございました。
宿題だったのでとても助かりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

bud********さん

2010/5/1819:16:34

y''-k^2y=0 →y''+k^2y=0
ともに
代入すれば 成り立つ
任意の定数jを2つ含むから一般解

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