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本日中に教えて頂けると幸いです。高校数学。 四面体OABCにおいて、OA⊥BCかつ△O...

mai********さん

2010/6/121:30:27

本日中に教えて頂けると幸いです。高校数学。

四面体OABCにおいて、OA⊥BCかつ△OAB=△OACが成り立っている。
①OB=OCを示せ。
②△ABCの重心をGとするとき、OG⊥BCを示せ。
この問題が分かりません。数学の得意な方,教えて下さいませんか。

補足問題に△OAB=△OACとしか書いていないので、どちらかは分かりません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

meg********さん

2010/6/122:43:53

ベクトルとタンジェントでやれました。

(1)△OAB=△OACより、
1/2・OA・OB・sin∠AOB=1/2・OA・OC・sin∠AOC

両辺を1/2・OAで割ると

OB・sin∠AOB=OC・sin∠AOC…①

さらに、OA⊥BCより
OA↑・BC↑=0
OA↑・(OC↑-OB↑)=0
OA↑・OB↑=OA↑・OC↑

内積の定義により

OA・OB・cos∠AOB=OA・OC・cos∠AOC

両辺をOAで割ると

OB・cos∠AOB=OC・cos∠AOC…②

②÷①より

(OBsin∠AOB)/(OBcos∠AOB)=(OCsin∠AOC)(OCcos∠AOC)

sin∠AOB/cos∠AOB=sin∠AOC/cos∠AOC

tan∠AOB=tan∠AOC

∠AOBも∠AOCも三角形内の角だから0゜より大きく180゜より小さい。ゆえに、それぞれ角は1つに決まるから、

∠AOB=∠AOC

①に代入して、

OB=OC

(2)
OG↑・BC↑
=1/3(OA↑+OB↑+OC↑)・(OC↑-OB↑)
=1/3(OA↑・OC↑-OA↑・OB↑+OB↑・OC↑-OB^2+OC^2-OB↑・OC↑)

(1)よりOA↑・OB↑=OA↑・OC↑、OB=OCだから

1/3(OA↑・OB↑-OA↑・OB↑+OB↑・OC↑-OB^2+OB^2-OB↑・OC↑)=0

よって、OG↑・BC↑=0 だから

OG⊥BC


あと、割り算するときは0じゃないからを一応断った方がいいかと思われます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

s_s********さん

編集あり2010/6/121:54:17

補足お願いします
△OAB=△OAC とは何ですか?
合同ですか?面積が等しいだけですか?

合同であるなら①は明らかだし、②は△ABCが二等辺三角形である故
BCの中点をMとするとAMが垂直二等分線になるので、GはAM上にあり
OC⊥BCが成り立ちます。

>補足
え…。そんな問題の出しかたってあるんですか?
角度(∠)ならわかりますけど…。

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