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球形の大きなゴム風船の直径が60cmに膨らんでいる。このゴム風船の口を放すと...

sno********さん

2010/8/616:17:05

球形の大きなゴム風船の直径が60cmに膨らんでいる。このゴム風船の口を放すと、中の空気は(体積が)一定の割合で抜け、ちょうど5秒ですっかり空気が抜けてしまったという。

(1)t秒後の直径をR、体積をVとして、VをRの式で表せ。
(2)直径が調度40cmになった瞬間における直径の変化する割合を求めよ。

すいません、ちょっと見当がつかないので、
詳しい解説付きでおしえていただけないでしょうか?

宜しくお願いします、。

補足回答ありがとうございます。
(1)についてなのですが、tを使った変数の式で表す必要はないのでしょうか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

ami********さん

編集あり2010/8/820:35:27

はーいo(^-^)o

(1) これは球の体積の公式だけですo(^-^)o

V=(4/3)π(R/2)^3=(π/6)R^3..........①

答え V=(π/6)R^3


(2) dV/dt=-k
V(0)=(π/6)*(60)^3
V(5)=0

よって、
V=36000π{1-(1/5)t}
よって、
dV/dt=-7200π...............②


dV/dt=(dV/dR)*(dR/dt).......③

①より、dV/dR=(π/2)R^2
R=40のとき
dV/dR=800π................④

②、③、④より、

dR/dt=-9

答え 毎秒9cmで縮む

ですねo(^-^)o


補足への解答

はーいo(^-^)o

VやRをtの式で表すことは微分方程式を作って解をもとめた後ならできるって
思いますけど、、、

それとも、一定の速度で体積が減って、5秒で0になったことから、
V=(π/6)(60)^3*(5-t)/5.......ってことでしょうか?
確かにこれならtで表せますけど、Rはまったく不要になります(^^;
それにこれだと、(2)の内容にぜんぜんつながりませんし.......(^^;

Rの減少スピードを一定であるVの減少スピードを使って算出するのに、
VとRの関係式がどうしても必要になるので、そういう意図で(1)の誘導が
あるんだってわたしは思いました(^0^)/

質問した人からのコメント

2010/8/9 15:08:08

成功 なるほど
補足への対応も含め、わかりやすい解説ありがとうございました。
いつもありがとうございます。

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