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伝達関数G(s)の動特性を表現する微分方程式、異なる2つの実数の極を持つための範囲

opp********さん

2010/9/2718:20:07

伝達関数G(s)の動特性を表現する微分方程式、異なる2つの実数の極を持つための範囲

(1)画像の伝達関数G(s)の動特性を表現するu(t),y(t)に関する微分方程式を書け
(2)G(s)が-5<s<-2の範囲で異なる2つの実数の極を持つためのaの範囲を求めよ


この問題がわかりません、すみませんが、よろしくお願いします

動特性,微分方程式,s&amp;lt,a-sqrt,実数,伝達関数G,a&amp;lt

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Greta Jutieさん

2010/9/2814:16:55

(1) (s^2+as+1)Y(s)=U(s)
時間領域に直す → s=d/dt を代入
{d^2/dt^2+ad/dt+1}y(t)=u(t)
d^2y(t)/dt^2 + a dy(t)/st +y(t)=u(t)

(2) G(s)の特性方程式 0=s^2+as+1 を満たすsは
s=(-a+-sqrt(a^2-4))/2

よって、
a^2-4<0の時、特性方程式を満たすsは虚数になる
→G(s)は2つの虚数極を持つ
a^2-4=0の時、特性方程式を満たすsは0
→G(s)は1つの実数極を持つ。
a^2-4>0の時、特性方程式を満たすsは2つの実数値
{-a+sqrt(a^2-4)}/2または{-a-sqrt(a^2-4)}/2となる
→異なる2つの実数極を持つ。

よって、G(s)が異なる2つの実数極を持つためにはa^2>4
よって a>2 または a<-2

続いて -5<{-a+sqrt(a^2-4)}/2<-2 かつ
-5<{-a-sqrt(a^2-4)}/2<-2 を満たす a を求める。
→そんなaは存在しない添付図参照。設問が間違いではないか?

以下、上限が2だとする。
-5<{-a+sqrt(a^2-4)}/2<2 かつ -5<{-a-sqrt(a^2-4)}/2<2 を満たす a を求める。
→添付図から明らかに、-2.5<a<-2 または 2<a<5.2
これは以下の手続きで計算できる。

まず、常に {-a-sqrt(a^2-4)}/2 < {-a+sqrt(a^2-4)}/2
よって、下限値は {-a-sqrt(a^2-4)}/2 を、上限値は {-a+sqrt(a^2-4)}/2 を使って評価する。

[その1] a<-2の領域
下限値について
常に 0<{-a-sqrt(a^2-4)}/2
これは、-a と sqrt(a^2-4) の大きさを比較するのに、それぞれを2乗すると、常に
(-a)^2>(a^2-4)であることによって確かめられる。
よって
-5<{-a-sqrt(a^2-4)}/2 は常に成立

次に上限値
a<-2の範囲で {-a+sqrt(a^2-4)}/2 は単調減少、よってaが減少する(マイナスの大きな値になる)に従って {-a+sqrt(a^2-4)}/2 の値は増加する。
{-a+sqrt(a^2-4)}/2=2、これを解く。
sqrt(a^2-4)=4+a
a^2-4=16+8a+a^2
8a=-20
a=-2.5
{-a+sqrt(a^2-4)}/2は単調減少であるので、a<-2.5では2より大きな値となる。
よって、{-a+sqrt(a^2-4)}/2<2 となるのは -2.5<aの時。

よって、a<-2の範囲で -5<s<2 を満たすのは、-2.5<a<2

[その2] a>2の領域
下限値について
2<aの範囲で {-a-sqrt(a^2-4)}/2 は単調減少、よってaが増加するに従って {-a-sqrt(a^2-4)}/2 の値は減少する。
{-a-sqrt(a^2-4)}/2=-5、これを解く。
sqrt(a^2-4)=a-10
a^2-4=100-20a+a^2
20a=104
a=5.2
{-a-sqrt(a^2-4)}/2は単調減少であるので、5.2<a では-5より小さな値となる。
よって、{-a-sqrt(a^2-4)}/2<2 となるのは a<5.2 の時。

次に上限値
常に {-a+sqrt(a^2-4)}/2 <0
確認方法は[その1]下限値と同様
よって
{-a+sqrt(a^2-4)}/2<2 は常に成立

よって、2<a の範囲で -5<s<2 を満たすのは、2<a<5.2

以上[その1][その2]により、-2.5<a<-2 または 2<a<5.2

(1) (s^2+as+1)Y(s)=U(s)
時間領域に直す → s=d/dt を代入...

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