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【数学・三角比と計量】わからない問題があります。解ける方、教えてください(><;)...

hon********さん

2010/10/3119:13:04

【数学・三角比と計量】わからない問題があります。解ける方、教えてください(><;)

1辺の長さが3の正四面体ABCDにおいて、辺BC、CDを1:2に分ける点を、それぞれP、Qとする。
このとき、次のものを求めなさい。

(1)AP、AQ、PQの長さ
(2)cos∠PAQの値
(3)△APQの面積

※画像参照

自分でやってはみたのですが、いまち解けなかったので質問させて頂きました。
解答、解説よろしくお願い致します(_ _*)

cos∠PAQ,正四面体ABCD,いまち,三角比,余弦定理,計量,sin∠PAQ

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ベストアンサーに選ばれた回答

fra********さん

2010/10/3120:24:31

正四面体の全ての面は正三角形

(1) AC = 3、PC = 2、∠ACP = 60°だから、
△ACPにおいて余弦定理より、
AP^2 = AC^2+PC^2-2*AC*PC*cos∠ACP = 9+4-6 = 7
∴AP = √7
AD = 3、QD = 2、∠ADQ = 60°だから、
上と同様に余弦定理を△ADQに用いて、AQ = √7

また、PC = 2、QC = 1、∠PCQ = 60°だから、
PQ^2 = PC^2+QC^2-2*PC*QC*cos∠PCQ = 4+1-2 = 3
∴PQ = √3

(2)△PAQにおいて、余弦定理より、
PQ^2 = PA^2+QA^2-2*PA*QA*cos∠PAQ = 7+7-14*cos∠PAQ = 3
∴cos∠PAQ = 11/14

(3)cos∠PAQ = 11/14より、sin∠PAQ = (5/14)√3
よって△PAQ = (1/2)*PA*QA*sin∠PAQ = (1/2)*√7*√7*(5/14)√3
= (5/4)√3

質問した人からのコメント

2010/10/31 21:22:03

降参 とても丁寧な解説ありがとうございました!!!!!

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