ここから本文です

幾何学(?)の問題

大正の天祐さん

2010/11/1123:07:05

幾何学(?)の問題

円をとりその内部の一点に動点Pを想定する。
Pは直線運動をし、円の内壁に衝突すると
衝突した点と円の中心を結ぶ線分を対称に侵入角度と同じ角度で衝突点から脱出する。
このときPの運動時間を無限大に発散させたときのPの最初からの軌跡Fを考える。
Fが一切通過しない領域が存在するような動点Pの初期位置、角度が存在するだろうか?

お願いします。

補足まず「領域」はここでは点ではなく、面積を持った図形です。
僕はPが動いた軌跡を塗り潰していったとき、何か一切黒が入らない領域があったら面白いなあ、と思って出題しました。つまり、黒地に白く残った図形があるイメージです。
一応、意図を書きました。
ちなみに「点」であれば残る点は無限にあります。(だから領域なのです)
あと回答は理詰めの解答が非常に望ましいです。

閲覧数:
178
回答数:
2
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

ryo********さん

編集あり2010/11/1400:19:15

「Fが一切通過しない領域が存在するような動点Pの初期位置、角度が存在するだろうか?」という質問の回答は、存在しません。厳密には、さらに強い命題として、「どのような初期位置、角度としてもFが一切通過しない領域が存在する」が挙げられます。
全ての領域を通過するには中心も通過する必要があります。直径を通過する場合、侵入角度と脱出角度が同じであることから初期座標は、この直径に含まれ、またFも、この直径から脱出することができません。

<補足への回答>
理詰めとありますが、もう少し質問を明確にしていただけないでしょうか?
直径の場合はどうなるのでしょうか?
また、正多角形を描く場合は、条件に合致するのでしょうか?

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

えびまーさん

編集あり2010/11/1201:33:32

これは自明解ということで考察の対象外かもしれませんが、
Pの初期位置が円の中心の場合、初期速度の方向によらず
Pは円の直径上を往復するのみです。
また、Pの初期位置が円の中心でない場合も、Pが円の中心に
向かう方向、またはそれと反対の方向に出発した場合は
同様の動きになります。

<追記>
上の条件が満たされない場合、Pは永遠に円の中心を通りません。
ある時間にPが円の中心を通ると仮定すると、
Pは初期位置から中心に向かう方向に出発したか、あるいは
反射して中心を通る直線軌道に乗ったかのいずれかです。
しかし後者の場合、中心を通る直線軌道に乗るためには、そもそも
反射する前から中心を通る直線軌道に乗っていなければなりません。
(∵進入角度=脱出角度 で、反射後中心を通るには脱出角度=0°
でなければならないので、進入角度も0°)
つまり、Pの初期位置・角度によらず、Fが通過しない領域が存在し、
それは「円から円の直径であるような線分を除いた領域」または
「円の中心を含む領域(中心以外にも通らない点が存在するかもしれません)」です。

<補足後の追記>
結局、「Pが直径を往復し続ける場合」はどう扱われるのでしょうか。
このとき、確かに面積を持った図形がPによって塗りつぶされずに残ります
(面積は円の面積と同じです)。自明なので無視する、というご姿勢でしょうか。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる