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ネーター整域についてです。

miu********さん

2010/12/1015:26:41

ネーター整域についてです。

Rをネーター整域とする。

Rの0でない任意の素イデアルは極大イデアルであるとする。

JをRの0でないイデアルとする。

このとき、「Jを含む素イデアルは有限個しか存在しない」


↑Jを含む素イデアルが無限個あると、何か矛盾が起こるのですか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

gan********さん

2010/12/1017:26:57

ネーター環なのでJの準素イデアル分解が存在します。
つまり、
J = q_1∩…∩q_k, q_i:準素イデアル
素イデアルpがJ⊆pを満たすなら
q_1…q_k⊆q_1∩…∩q_k⊆p
からq_i⊆pとなるq_iが存在します。
よって√q_i⊆p。
J≠0だから、√q_i,pは0でない素イデアル
なので仮定からともに極大イデアルとなるので、
p = √q_i、つまり
Jを含む素イデアルは√q_1,…,√q_kのいずれか
となります。

※準素分解であらわれる素イデアルの集合
{√q_1,…,√q_k}の一意性が気になるなら、
むだのない分解をとればいいです

質問した人からのコメント

2010/12/10 17:41:49

成功 gang_gang_dankichiさん、ありがとうございました!

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