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a,b,c>0,a+b+c=1の時a^2+b^2+c^2が最小となるのはa=b=c=1/3であることを示せ。

星矢さん

2010/12/2022:13:31

a,b,c>0,a+b+c=1の時a^2+b^2+c^2が最小となるのはa=b=c=1/3であることを示せ。

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Bさん

編集あり2010/12/2022:38:36

a^2 + b^2 + c^2
= (1/3) [ (a+b+c)^2 + { (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 } ]
= (1/3) { 1 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 } ≧ 1/3
( ↑ ( )^2 は全て 0 以上なので)

等号成立は、全ての ( )^2 = 0 のとき、すなわち、 a = b = c = 1/3 のとき

思いつくというより、この手の問題はこう解くというパターンを経験していればよいかと思います。

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kur********さん

2010/12/2022:54:24

S=a^2+b^2+c^2とする
また対象性より
0<a≦b≦c<1としてよい
Sをcの関数とみればc=bのとき最小であるのは明らか
c=bのとき
S=a^2+2b^2
またSをbの関数とみればb=aのとき最小となるのは明らか
よって最小値は
S=3a^2
また、a+b+c=3a=1よりa=1/3
よってa=b=c=1/3のとき最小値をとる

yomotoさん

2010/12/2022:41:27

どのようにやろうとしたのか示した方がよいと思います。
もしかしたら習ってない範囲のことを使うかもしれませんが、一応回答です。

a^2+b^2+c^2をfとおく

a+b+c=1よりc=1-a-bを代入すると

f=a^2+b^2+c^2
f=a^2+b^2+(1-a-b)^2
f=2(a^2+b^2-a-b+ab)

fをaの関数と見てaで偏微分すると(bを定数として、aで微分することです)

f'(a)=4a+2b-2

また、fはbの関数と見ることもでき、bで偏微分すると

f'(b)=4b+2a-2

f'(a)=f'(b)=0のとき

4a+2b-2=0…(1)
4b+2a-2=0…(2)

これを解くと
a=b=1/3

(増減表を書くとわかるが)この点が極小点となっているのでfは最小となる。

c=1-a-bなのでこれにa,bを代入すると
c=1/3

よって
a,b,c>0,a+b+c=1の時a^2+b^2+c^2が最小となるのはa=b=c=1/3

pgs********さん

2010/12/2022:32:03

c=1-a-bですから

a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(1-a-b)^2

=2a^2+2(b-1)a+2b^2-2b+1

=2{a+(b-1)/2}^2+(3b^2-2b+1)/3

=2{a+(b-1)/2}^2+(3/2)(b-1/3)^2+1/3

これから、a=-(b-1)/2、b=1/3、すなわち、a=b=1/3のとき、

したがって、c=1/3のとき、a^2+b^2+c^2が最小となることがわかります。

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