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数学の問題です。 実数aが変化するとき、3次関数y=x^3-4x^2+6xと直接y=x+aの...

aic********さん

2011/2/2513:55:32

数学の問題です。

実数aが変化するとき、3次関数y=x^3-4x^2+6xと直接y=x+aのグラフの交点の個数はどのように変化するか、aの値によって分類せよ。

解答だけでなく途中計算もよろしくお願いいたします。

(__)

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ベストアンサーに選ばれた回答

pgs********さん

2011/2/2514:34:33

y=x^3-4x^2+6xとy=x+aを連立させて、y=x^3-4x^2+5x-aのグラフとx軸

との共有点を調べます。

f(x)=x^3-4x^2+5x-a

とおけば

f'(x)=3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1)

ですから、f'(x)=0の解は、x=1、5/3

したがって、y=x^3-4x^2+5x-aは、

x=1で極大値f(1)=2-aをとり、x=5/3で極小値f(5/3)=50/27-aをとる

ことがわかります。

(1)f(1)<0、すなわち、a>2のとき、グラフはx軸と1点で交わります。

(2)f(1)=0、すなわち、a=2のとき、グラフとx軸の共有点は2個です。

(3)f(1)=2-a>0、f(5/3)=50/27-a<0、すなわち、2>a>50/27のとき、

グラフはx軸と3点で交わります。

(4)f(5/3)=50/27-a=0、すなわち、a=50/27のとき、

グラフとx軸との共有点の数は2個です。

(5)f(5/3)=50/27-a>0、すなわち、a<50/27のとき、

グラフはx軸と1点で交わります。

質問した人からのコメント

2011/2/25 14:37:25

あありがとうございます
(^o^)/

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

d_c********さん

編集あり2011/2/2514:22:16

y=x^3-4x^2+6xとy=x+aからyを消去し、a=の形にすると、

a=x^3-4x^2+5x

となります。

y=(右辺)のグラフを書いたときに、y=aとの交点がいくつになるのか調べればOK。

グラフが書ければもうわかると思います


暇だったから解きました

答えは
50/27>a、2<aのとき1個
a=50/27、2のとき2個
50/27<a<2のとき3個

かな?計算テキトーなんで自分で検算してみてくださいね

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