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下記の問題がどうしても分かりません。 分かる方ご教授お願いします。

tut********さん

2011/3/309:24:24

下記の問題がどうしても分かりません。
分かる方ご教授お願いします。

√10800÷mが整数となるような自然数mはいくつあるか?(10800÷mは√の中に入っています。分かりにくい表示ですみません)

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ベストアンサーに選ばれた回答

ken********さん

2011/3/311:15:22

10800を素因数分解すると,
3×2^2×2^2×3^2×5^2 …① となります。

①をmで割って,その平方根が整数となるためには,
商が平方数になる必要があります。

よって,m=3×K の形に表され,
Kは,(2^2が0個か1個か2個)×(3^2が0個か1個)×(5^2が0個か1個) となるので,
2^2の個数は3通り,3^2の個数は2通り,5^2の個数は2通り あります。
だから,全部の場合の数は,
3×2×2=12通り になります。

実際に (2^2の個数,3^2の個数,5^2の個数) をすべて書き出してみると,

K=(0,0,0) ならば,m=3 よって 与式=√3600=60
K=(1,0,0) ならば,m=12 よって 与式=√900=30
K=(2,0,0) ならば,m=48 よって 与式=√225=15
K=(0,1,0) ならば,m=27 よって 与式=√400=20
K=(1,1,0) ならば,m=108 よって 与式=√100=10
K=(2,1,0) ならば,m=432 よって 与式=√25=5
K=(0,0,1) ならば,m=75 よって 与式=√144=12
K=(1,0,1) ならば,m=300 よって 与式=√36=6
K=(2,0,1) ならば,m=1200 よって 与式=√9=3
K=(0,1,1) ならば,m=675 よって 与式=√16=4
K=(1,1,1) ならば,m=2700 よって 与式=√4=2
K=(2,1,1) ならば,m=10800 よって 与式=√1=1

以上,12個の整数が作れます。

質問した人からのコメント

2011/3/3 11:28:30

丁寧な解説ありがとうございました。

解説のおかげでスッキリ納得することが出来ました。

ベストアンサー以外の回答

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さん

2011/3/309:44:23

10個

10800=2^4×3^3×5^2
と素因数分解して、√が外れる組み合わせの数を数えて下さい。
2^2、2^4、3^2、・・・・、2^4×3^2×5^2
10個になると思います。

これがmの数に一致します。

kit********さん

2011/3/309:43:53

まずルートの中を素因数分解すると
√10800/m=√100・9・4・3/m=36√3/m
となるので36√3/mが整数となるのはm=3・x^2である。
範囲がないのでこれ以上は答えられません。

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