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144 数学で 0<x<2でxの小数部分と x^2の小数部分が等しいxを求めよ。 ...

ank********さん

2011/3/1016:33:42

144 数学で

0<x<2でxの小数部分と
x^2の小数部分が等しいxを求めよ。

という問題がわかりません。分かるかたお願いします。
途中式も載せていただけると幸いです。

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hid********さん

2011/3/1017:59:10

x=a+b (aを整数部分,bを小数部分とする。a,b>=0)

a=0のとき,
x=0+b … ①
x^2=(0+b)^2
=b^2 … ②

a=0より,①②ともに整数部分は0。よって,
b=b^2
b^2-b=0
b(b-1)=0
b=0,1
b=0では,0<x<2にあてはまらない。b=1では,bが小数ではないので,これも問題にあてはまらない。



a=1のとき,
x=1+b … ①
x^2=(1+b)^2
=1+2b+b^2 … ②

a=1で,x<√2のとき,②の整数部分は1(√2よりも小さいと,2乗しても2を超えないので)。よって,
b=1+2b+b^2-1
0=b^2+b
0=b(b+1)
b=0,1
b=1では,bが小数ではないので,これも問題にあてはまらない。
b=0,つまり,x=1



a=1で,x>=√2のとき,②の整数部分は2。よって,
b=1+2b+b^2-2
0=b^2+b-1
b=(-1±√5)/2
b=(-1-√5)/2では,bが負の数になるので問題にあてはまらない。
b=(-1+√5)/2,つまり,x=(1+√5)/2


x=1,(1+√5)/2

ちなみに, (1+√5)/2 :1 は黄金比です。

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jer********さん

2011/3/1017:24:13

0<x<1…①のとき 各辺2乗して0<x^2<1
よってxの少数部分はx、x^2の少数部分はx^2
題意よりx=x^2これを解くと
x^2-x=0
x(x-1)=0 よって①より
この式をみたすxは存在しない

1≦x<√2…②のとき各辺2乗して1≦x^2<2
よって xの少数部分はx-1、x^2の少数部分はx^2-1
題意より
x-1=x^2-1 これを解くと
x^2-x=0
x(x-1)=0
よって②より x=1

√2≦x<√3…③のとき各辺2乗して2≦x^2<3
よってxの少数部分x-1、x^2の少数部分x^2-2
したがって題意より
x-1=x^2-2 これを解くと
x^2-x-1=0 解の公式より
x=(1±√5)/2
よって ③をみたすときxは x=(1+√5)/2

√3≦x<2…④のとき 各辺2乗して 3≦x^2<4
よってxの少数部分x-1、x^2の少数部分x^2-3
したがって題意より
x-1=x^2-3 これを解いて
x^2-x-2=0
(x-2)(x+1)=0 ④よりこの式をみたすxは存在しない

以上より求めるxの値は
x=1、(1+√5)/2

sev********さん

2011/3/1016:51:59

まずx=n+aとする(nは0または1、aは少数部分)
(n+a)^2=n^2+2an+a^2

n=0のとき
a=a^2より
a=0または1
aは少数部分なのでa=0
そうするとx=0となるので不適

n=1のとき
0<2a+a^2<3より
2a+a^2=a…①
2a+a^2=a+1…②
2a+a^2=a+2…③の三つの場合が考えられます。
①のとき
a=0よりx=1
②のとき
a=(-1±√5)/2
0<a<1より
a=(-1+√5)/2
よってx=(1+√5)/2
③のとき
a=1.-2より不適

よって求めるx=1または(1+√5)/2

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