ここから本文です

行列の問題です。答え合わせお願いします。

ob_********さん

2011/4/1017:52:15

行列の問題です。答え合わせお願いします。

A=|3..1| において、A^n=a[n]A+b[n]E とするとき a[n]、b[n] をnを用いて表せ。
.....|4..2|

ケーリー・ハミルトンの定理より

A²-5A+2E=0
A²=5A-2E

A^n=a[n]A+b[n]E において両辺右側からAを掛けると

A^(n+1)=(a[n]A+b[n]E)A
a[n+1]A+b[n+1]E=a[n]A²+b[n]E
a[n+1]A+b[n+1]E=a[n](5A-2E)+b[n]E
a[n+1]A+b[n+1]E=5a[n]A+(-2a[n]+b[n])E

よって
a[n+1]=5a[n]
b[n+1]=-2a[n]+b[n]
という関係式が得られる。

n=1 のとき、a[1]=1, b[1]=0 であることに留意すれば、数列{a[n]}は初項1, 公比5の等比数列であるから a[n]=5^(n-1) このとき

b[n+1]=b[n]-2・5^(n-1)
∴b[n]=b[1]+Σ[k=1, n-1]{-2・5^(k-1)}
=-2・Σ[k=1, n-1]5^(k-1)
=-{5^(n-1)-1}/2

以上より
A^n=5^(n-1)A+{1-5^(n-1)}/2


時間のあるかた、採点お願いします。

閲覧数:
99
回答数:
3

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

sgx********さん

2011/4/1018:25:39

>A^(n+1)=(a[n]A+b[n]E)A
>a[n+1]A+b[n+1]E=a[n]A²+b[n]E

の下段の最後が、b[n]A、ですね。

この手の問題の解き方ですが、
x^2-5x+2=0
の解をa,bとすると、

x^nを(x^2-5x+2)=(x-a)(x-b)で割ると、

x^n=Q(x)*(x-a)(x-b)+cx+d
とおけ、x=a,x=bを代入すると、

a^n=ca+d
b^n=cb+d
なので、
c=(a^n-b^n)/(a-b)
d=(a*b^n-b*a^n)/(a-b)
と求まります。

このc,dを用いて、
A^n=cA+dE
が答えとなります。

x^2-5x+2=0の解は、
x=(5±√17)/2
なので、答えはきれいにはなりませんが。

質問した人からのコメント

2011/4/10 18:51:50

一安心 ああ…、やってしまった…。
また出直します。付き合ってくださった皆さんありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜2件/2件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

ysb********さん

2011/4/1018:20:41

方針は良いのですが、

>A^n=a[n]A+b[n]E において両辺右側からAを掛けると

>A^(n+1)=(a[n]A+b[n]E)A
>a[n+1]A+b[n+1]E=a[n]A²+b[n]E

3行目に誤りがあります。
正しくは
a[n+1]A+b[n+1]E=a[n]A²+b[n]A

当然結果は正しくありません。
また、最後の式の表現でケアレスミスでしょうか、スカラーの後に単位行列Eが落ちています。

sio********さん

2011/4/1018:11:40

両辺右からAを掛けたところで、
A^(n+1)=(a[n]A+b[n]E)A
a[n+1]A+b[n+1]E=a[n]A^2+b[n]E
と計算していますが、
A^(n+1)=(a[n]A+b[n]E)A
a[n+1]A+b[n+1]E=a[n]A^2+b[n]A
ではないでしょうか。

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる