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アークsinx/aの微分がわかりません。 詳しく教えていただけるとありがたいです。

hi_********さん

2011/5/1111:44:10

アークsinx/aの微分がわかりません。 詳しく教えていただけるとありがたいです。

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ysb********さん

2011/5/1112:12:33

y=arcsin(x/a)
とおくと、

sin(y)=x/a
両辺をxで微分して
cos(y)y'=1/a

よって、
y'=1/(a・cos(y))----(1)

sin(y)=x/a から、cosy=√(a^2-x^2)/a
(1)へ代入して
y'=1/√(a^2-x^2)

質問した人からのコメント

2011/5/11 13:18:22

降参 ありがとうございます。

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wiz********さん

編集あり2011/5/1113:09:28

y=arcsin(x/a) とおいて、yを微分します。

この関数は、x/a=sinyのことですから、左右にふれながらy方向に昇っていくグラフになります。グラフを見れば分かるように、あるxに対してyが1つではありません。ですからこのままでは「微分可能」ではありません。(「関数」でもありません。)

だからyが1つになるような範囲、つまり昇っていくグラフの1周期分「π/2>y>-π/2」だけを考えます。そうすれば「微分可能」ということになります。

範囲をxで表しなおします。これが「定義域」になります。
「π/2>y>-π/2」のsinをとって「1>siny>-1」。
sinyをx/aに置き換えて「1>x/a>-1」
ということで範囲は、「a>x>-a」となります。
*定義域は答えに書き添えておく必要があります。


いきなり、dy/dxを計算しようとしないで、まずdx/dyを計算します。
x/a=sinyから、x=a・sinyより、dx/dy=a・cosyとなります。

ここで、dy/dx=1/(dx/dy)を使います。
dy/dx=1/(a・cosy)

続きを計算すると、
=1/(a・√(1-(siny)^2)=1/(a・√(1-(x/a)^2)=1/(√(a^2-x^2)

つまり、
dy/dx=1/(√(a^2-x^2)、定義域はは(a>x>-a)

間違っていたらすみません。

dnb********さん

2011/5/1112:09:26

アークsinx/a=t としてー
sint=x/a 両辺を微分して
cost *t = 1/a*dx
cost=√[1-(sint)^2]=√[1-(x/a)^2]
よって
dt/dx =1/{a√[1-(x/a)^2]}
=1/√[a^2-x^2]

です
たぶん
アークsinx/a をt とおくことで
dt/dx =アークsinx/a のx微分となります

最後にtを無理やり消去してできあがりです

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