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証明お願いします。

mso********さん

2011/6/2209:10:51

証明お願いします。

inn,Aut,axa,証明,写像,x∈G,axa'

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you********さん

2011/6/2210:31:54

群Gの元aに対し、写像σa:G→Gをσa(x)=axa^(-1)と定義する。

Gの単位元をeとします。

(1)σaはGの自己同型であることを示せ。
(証明)
x, yをGの任意の元とすると
σa(x)σa(y)=axa^(-1)aya^(-1)=axya^(-1)=σa(xy)
したがって、σaは自己準同型写像です。

また、yをGの任意の元とすると
x=a^(-1)ya∈Gとおくと
σa(x)=aa^(^-1)yaa^(-1)=y
したがって、σaは全射です。

そして、
x∈ker(σa)
⇔ σa(x)=e
⇔ axa^(-1)=e
⇔ x=a^(-1)ea=e
が成り立つから、ker(σa)={e}
したがって、σaは単射です。

以上から、σaは自己同型写像です。
(証明終わり)


(2)Inn(G)={σa∈Aut(G)|a∈G}とおく。
(i) Inn(G)はAut(G)の正規部分群であることを示せ。
(証明)
Aut(G)の単位元を1gとします。

まず、任意のx∈Gに対hして、σe(x)=exe^(-1)=x
よって、1g=σe∈Inn(G)

次に、σa, σb(a, b∈G)をInn(G)の任意の元とすると
任意のx∈Gに対して
σaσb(x)=σa(bxb^(-1))=abx=b^(-1)a^(-1)=(ab)x(ab)^(-1)=σ(ab)(x)
よって、σaσb=σ(ab)∈Inn(G)

また、σa(a∈G)をInn(G)の任意の元とすると
任意のx∈Gに対して
σ(a^(-1))σa(x)=σ(a^(-1))(axa^(-1))=a^(-1)axa^(-1)a=x
σaσ(a^(-1))(x)=σa(a^(-1)xa)=aa^(-1)xaa^(-1)=x
よって、σ(a^(-1))σa=σaσ(a^(-1))=1g
したがって、(σa)^(-1)=σ(a^(-1))∈Inn(G)

したがって、Inn(G)はAut(G)の部分群です。

さらに、τをAut(G)の任意の元, σa(a∈G)をInn(G)の任意の元とします。
b=τ(a)∈Gとおき、
任意のx∈Gに対して
τ^(-1)(x)=yとおくと、x=τ(y)だから
τσaτ^(-1)(x)=τσa(y)=τ(aya^(-1))=bxb^(-1)=σb(x)
よって、τσaτ^(-1)=σb∈Inn(G)

以上から、Inn(G)はAut(G)の正規部分群です。
(証明終わり)


(ii) G/Z(G)とInn(G)が同型であることを示せ。(Z(G)={x∈G|ax=xa ∀a∈G})
写像σ:G→Inn(G)をσ(a)=σaと定義すると
任意のa, b∈Gに対して
σ(ab)=σaσb=σ(a)σ(b)
よって、σは準同型写像です。

また、Imσ=Inn(G)だから、σは全射です。

そして、
a∈Ker(σ)
⇔ σ(a)=1g
⇔ 任意のx∈Gに対して、σa(x)=x
⇔ 任意のx∈Gに対して、axa^(-1)=x
⇔ 任意のx∈Gに対して、ax=xa
⇔ a∈Z(G)
が成り立つので、群の準同型定理により
G/Z(G)はInn(G)と同型です。
(証明終わり)

質問した人からのコメント

2011/6/22 11:34:39

ありがとうございました。

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ver********さん

2011/6/2210:55:51

群Gの元a の逆元をa’で記すことにします。

(1)準同型:
σ_a (xy)=a(xy)a'=axa' aya' =σ_a(x) σ_a(y)
より明らか。
(2) 全単射:(写像の合成を*で記すことにします)

σ_a’ * σ_a = σ_a * σ_a’ = id_G
より、明らか。

(2)
(ⅰ) (σ_a)の逆元はσ_a’ であることに注意すれば
Inn(G)はAut(G)の部分群である事は容易に確認できます。
正規部分群になっている事は次のようにして示せます。
任意にη∈Aut(G) と取ってきます。このとき、
η*(σ_a)*(η)^{-1} =σ_{η(a)}∈Inn(G)
のなることより判ります。

(ⅱ) φ: G → Inn (G) φ(a)=σ_a
なる自然な群準同型写像が定義できます。
さて、 σ_a =id_ G となる条件は a∈Z(G)(←Gの中心化群!)。
よって、Ker(φ)=Z(G) 。
従って、準同型定理から、 G/Z(G)=Inn(G) (同型)と判ります。

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