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電磁気の問題です。解説お願いします。

yuy********さん

2011/7/2300:50:47

電磁気の問題です。解説お願いします。

電場の強さE↑の中で、電気双極子p↑を回転するのに必要な仕事を求めることで、電気双極子の位置エネルギーが
U=-p↑・E↑となることを示せ。

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tfa********さん

編集あり2011/7/2407:50:26

以下の表現で大文字で表したもの(点の名称を除く)は
すべてベクトルとする。

双極子をE=0の無限遠方から電場Eの所まで運び、
そこで双極子のモーメントPがEと角θをなすよう、
双極子を置いたとする。

それまでに外部から加えるべき仕事、つまり双極子が
その位置で(無限遠に対して)もつ位置エネルギーuを求める。

Pを電場の方向に対して常に直角に保ちつつ(つまり、+qと
-qを常に等しい電位に維持しつつ)、双極子を無限遠から
Eの電場まで運んだとすれば、+qおよび-qを運ぶに要する仕
事は互いに打ち消し合うため、全体として必要な仕事は0で
ある。

したがって、uを求めるのに必要な仕事は、質問にある通り
PとEのなす角を(π/2)からθになるまでPを回転させる仕事
を求めればよい。

双極子の-qと+qを結んだベクトル(-qから+qへ向かうベクトル)
をLとすると
P=qL
双極子の中心を点Oとし+qの位置を点A、-qの位置を点Bとする。

今、PとEが角αをなしているとする
点Oの電場がEのところで、PがEと角αをなす位置では点Aは
点Oから電場の方向に(∣L∣/2)cosαの距離、離れているので 、
そこの電場をE+⊿Eとすると、

点Aで+qにはたらく力はq(E+⊿E)、加える外力は-q(E+⊿E)
点Bで-qにはたらく力は-q(E-⊿E)、加える外力はq(E-⊿E)

以下は、必ず自分で図を描いてください。
Pの方向をαからα+dαにするために必要な仕事dwを求める。

Pの方向がαのときの+qの位置は点A、-qの位置は点B
Pの方向をαからdα回転したときの
+qの位置を点A'、-qの位置を点B'とする。
ベクトルAA'=R、ベクトルBB'=Sとすると、外力のする仕事dwは
それぞれ内積の和となり

dw=(R・(-q(E+⊿E)))+(S・q(E-⊿E))・・・・・・・・・・・・・・・・・・・①
ここで
∣R∣≒(∣L∣/2)・dα≒∣S∣
∠OAA'≒π/2≒∠OBB'だから

Rと外力-q(E+⊿E)のなす角は(π/2)-α
Sと外力q(E-⊿E)のなす角は(π/2)-α
E∥⊿Eだから
∣E+⊿E∣=∣E∣+∣⊿E∣、∣E-⊿E∣=∣E∣-∣⊿E∣

①は
dw=(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣+∣⊿E∣)・cos[(π/2)-α]
+(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣-∣⊿E∣)・cos[(π/2)-α]

=(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣+∣⊿E∣)・sinα
+(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣-∣⊿E∣)・sinα

dw=∣L∣・q・∣E∣・sinα・dα

u=∣L∣・q・∣E∣∫[(π/2)→θ]sinα・dα
=∣L∣・q・∣E∣・[-cosα][(π/2)→θ]
=-∣L∣・q・∣E∣・cosθ
=-∣qL∣・∣E∣・cosθ
ここでP=qLだから

u=-∣P∣・∣E∣・cosθ
ゆえに

u=-(P・E)

質問した人からのコメント

2011/7/28 02:37:49

解説ありがとうございました。

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