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階乗の問題です。解き方を教えて下さい。

tab_kijinさん

2011/8/1105:09:03

階乗の問題です。解き方を教えて下さい。

1024(n-1)!〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=〔2(n-1)〕!

nの値を求めたいです。分かる方お願いします。

補足お二方とも回答ありがとうございます。

yumedeaetara1972さんの回答で

1024(n-1)!〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=〔2(n-1)〕! から

1024(n-1)!〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=2×3×4×5・・・・・×(2n-2) になってますが

〔2(n-1)〕! が 2×3×4×5・・・・・×(2n-2) になぜなるのですか。

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yum********さん

編集あり2011/8/1113:11:31

1024(n-1)!〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=〔2(n-1)〕!

1024(n-1)!〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=2×3×4×5・・・・・×(2n-2)

1024(n-1)!〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=2×3×4×5・・×(n-1)×(n)・・・×(2n-2)

2^10〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=(n)・・×(2n-3) ×(2n-2)

左辺は2が10個あるので右辺も10個必要。
したがって
2^10〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=(n)・・×(2n-20)×(2n-18)×(2n-16)×(2n-14)×(2n-12)×(2n-10)×(2n-8)×(2n-6)×(2n-4)×(2n-2)
n=2n-20またはn=2n-21
n=20,21
後は代入して確認

n!は1からnまでの積
(2n-2)!は1から2n-2までの積

意味を考えれば当たり前です。
例えばn=3なら
(2n-2)!=4!=2*3*4

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lov********さん

編集あり2011/8/1116:21:20

2の何乗なのかでアタリをつけます。
1024=2^10であり
(n-1)!が2^pで割り切れ、2^(p+1)で割り切れないとします。
すると2(n-1)!は2^(p+10)で割り切れ、2^(p+11)で割り切れなければなりません。

ここで
一般にn!が素数pをもちいてp^rで割り切れp^(r+1)で割り切れないとき
r=Σ(k=1~∞)[n/p^k]で表される。ただし[]はガウス記号[m]はmを超えない最大の整数を表す。

これを用いれば
p=Σ(k=1~∞)[(nー1)/2^k] ・・・・①
p+10=Σ(k=1~∞)[(2nー2)/2^k]・・・・②
ここで
p+10=Σ(k=1~∞)[2(nー1)/2^k]
=[n-1]+Σ(k=1~∞)[(nー1)/2^k]
=(n-1)+Σ(k=1~∞)[(nー1)/2^k]

これを①に代入すれば
p=(p+10)ー(n-1)
よってn=11
これが必要条件になります
あとは代入して十分性を確認して正答となります。
(大きく約分できるので大して面倒ではないはずです。)


補足
上の方は間違えておられます。

>左辺は2が10個あるので右辺も10個必要。
まではいいですが

>したがって
2^10〔1×3×5×7・・・・・×(2n-3)〕=(n)・・×(2n-20)×(2n-18)×(2n-16)×(2n-14)×(2n-12)×(2n-10)×(2n-8)×(2n-6)×(2n-4)×(2n-2)

これはおかしいです。
というのは
2nー20、2nー18 ・・・・2nー2
がすべて2で割り切れ4で割り切れないという前提の話になっているからです。
たとえばこの中に16が入っていたら
ひとつの数字で2が4つ分入っていますよね
これを全く考慮していないのです。

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