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太陽(質量とMとする)のまわりをまわっている惑星(質量m)の時、惑星の座標は、...

tan********さん

2011/8/1802:53:42

太陽(質量とMとする)のまわりをまわっている惑星(質量m)の時、惑星の座標は、太陽の原点とする極座標r、θ(近日の点をθ=0とする)で表すとします。

(1)万有引力を動径成分Frとその垂直な成分をFθに分けて、それぞれの成分日対する運動方程式を書き下せ。

(2)ケプラーの第二法則が成り立つことを示せ

(3)惑星の軌道r= L/1+e*cosθとなることを導け。ただし Lとeを買いに含まれる積分定数関係づけること

という質問が学校で出されたんですが分かりません。
教えてください

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ベストアンサーに選ばれた回答

bay********さん

編集あり2011/8/1807:48:20

時間微分を dr/dt=r' としました
====================================================

(1)
Fr=-GMm/r^2 , Fθ=0 なので、運動方程式は

m(r"-rθ'^2)=-GMm/r^2・・・①
(m/r)(r^2θ')/dt=0・・・②
.............................................(答)
-----------------------------------------
(2)
微小面積dSは

dS=(1/2)r・(r・dθ)=(1/2)r^2θ

よって面積速度は

dS/dt=(1/2)r^2・dθ/dt=(r^2θ')/2

(1)の②より

r^2θ'=(一定)

よって dS/dt=(一定).....(終)
----------------------------------------
(3)
r^2θ'=h とおくと、①は

(d^2/dt^2)r-h^2/r^3=-GM/r^2

d/dt=d/dθ・dθ/dt=θ'・d/dθ=(h/r^2)・d/dθ とすると

r{(h/r^2)・d/dθ}^2-h^2/r^3=-GM/r^2
(1/r^2)・(dr/dθ)・(d/dθ)-1/r=-GM/h^2

ここで u=1/r とおくと

(1/r^2)・(dr/dθ)=u^2・(d(1/u)/dθ)=u^2・(du/dθ)・(d(1/u)/du)
........................................................................=u^2・(du/dθ)・(-1/u^2)=-du/dθ

よって

(-du/dθ)・(d/dθ)-u=-GM/h^2
d^2u/dθ^2+u=GM/h^2

w=u-GM/h^2 とおくと

d^2w/dθ^2=-w

これを解いて w=Acos(θ+α)・・・(A,α は積分定数)

w=u-GM/h^2=1/r-GM/h^2 なので

1/r=Acos(θ+α)+GM/h^2
r=1/(GM/h^2+Acos(θ+α))=(GM/h^2)/(1+(Ah^2/GM)cos(θ+α))

よって α=0 とすると

r=L/(1+ecosθ) ただし (L=GM/h^2 , e=Ah^2/GM).....(答)

====================================================

質問した人からのコメント

2011/8/19 11:31:25

ありがとうございます

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