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等比数列2,4,8…と等比数列3,9,27…のすべての項を小さい順に並べてできる数列の第10...

wss********さん

2011/10/1400:39:57

等比数列2,4,8…と等比数列3,9,27…のすべての項を小さい順に並べてできる数列の第1000項はふたつの等比数列のどちらの第何項か。 ただしlog_6 2=0.386852…であることを用いてよい。
を解いてください!!

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lim********さん

2011/10/1401:52:32

まず、等比数列2,4,8…をa(m)、等比数列3,9,27…をb(n)とします。

そうすると、
a(m)=2^m
b(n)=3^n
と表せます。

問題文の条件から、log6(2)=0.38685、log6(3)=log6(6/2)=1-log6(2)=0.61315となるので、
log6(a(m))=log6(2^m)=m*log6(2)=0.38685m
log6(b(n))=log6(3^n)=n*log6(3)=0.61315n
となります。

仮に、b(n)の項が1000項目になると仮定すると、…<※>
0.38685m<0.61315n<0.38685(m+1)
n+m=1000
の2条件を満たすことになります。

上の2式を整理していきます。
0.38685m<0.61315(1000-n)<0.38685(m+1)
~中略~
612.76<n<613.15
よって、n=613なので、m=1000-n=387となります。

したがって、求める項は等比数列3,9,27…の387項目となります。





〈※〉
解答文中には簡単のため、正解に辿りつける仮定のみ記しましたが、他の場合の仮定は以下の3つのようになります。
~~~~~
(i)a(m)が1000項目になり、前後が共にb(n)の項であると仮定した場合
0.61315n<0.38685m<0.61315(n+1)
m+n=1000
の2条件を満たす。

(ii)a(m)が1000項目になり、999項目がa(m)の項、1001項目がb(n)の項であると仮定した場合
0.61315(n-1)<0.38635(m-1)
0.38635m<0.61315n
m+n=1001
の3つの条件を満たす。

(iii)a(m)が1000項目になり、999項目がb(n)の項、1001項目がa(m)の項であると仮定した場合
0.61315n<0.38635m
0.38635(m+1)<0.61315(n+1)
m+n=999
の3つの条件を満たす。

各式を整理すると
(i)386.24<n<386.85
(ii)613.54<m<613.76
(iii)612.54<m<612.76
となり、いずれも解が無く、間違った仮定であることがわかります。
~~~~~

※の部分は仮定を羅列しないでもいいような、もう少しスマートな解答があるかもしれませんが、一応の方針としてはこのような解答方法になるかと思います。

長文失礼しました。

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