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実数a,bに対して、x+y=1、x^3+y^3=a、x^4+y^4=bを満たす実数x,yが存在するため...

it3********さん

2011/12/1618:00:53

実数a,bに対して、x+y=1、x^3+y^3=a、x^4+y^4=bを満たす実数x,yが存在するための必要十分条件をa,bを用いてあらわせ。また、その範囲をab平面上に図示せよ。

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天舟さん

編集あり2011/12/1621:35:42

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a
x^2-xy+y^2=a
x^2+2xy+y^2-3xy=a
(x+y)^2-3xy=a
xy=(1-a)/3
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1-2(1-a)/3=(2a+1)/3
b=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(2a+1)^2/9-2(1-a)^2/9=(4a^2+4a+1-2+4a-2a^2)/9=(2a^2+8a-1)/9

b=2(a+2)^2/9-1
頂点(-2,-1)
対称軸a=-2の放物線である。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hin********さん

2011/12/1620:40:52

先ず、xyが実数であるための必要十分条件を求めます。

恒等式 x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y) に x+y=1, x^3+y^3=a を代入しますと、
a=1-3xy
∴xy=(1-a)/3 ・・・・・・・・・・・①

恒等式 x^4+y^4 = (x+y)^4-4xy(x+y)^2+2(xy)^2 に x+y=1, x^4+y^4=b を代入しますと、
b=1-4xy+2(xy)^2 ・・・・・・・・・・②

①②を連立してxyを消去しますと、

b = 1-(4/3)(1-a)+(2/9)(1-a)^2
∴b = (2/9)a^2+(8/9)a-1/9 = (2/9)(a+2)^2-1 ・・・・・・・・・・・③

②をxy=tの2次方程式と見ますと、
2t^2-4t+1-b=0
実数xyが存在する必要十分条件は、判別式≧0 ですから、
4-2(1-b)≧0
∴b≧-1 ・・・・・・・・・・・・・・④

従って、x+y=1, xy=(1-a)/3 がともに実数であるための必要十分条件が③④と示されました。


次に、x,yが実数であるための必要十分条件を求めます。
この必要十分条件は、sの2次方程式 s^2-(x+y)+xy=0 つまり、
s^2-s+(1-a)/3=0
が実数解をもつことです。
判別式≧0 から、
1-(4/3)(a-1)≧0
∴a≧1/4 ・・・・・・・・・・・・・・・・⑤

このとき、③から b≧(2/9)(1/4+2)^2-1 = 1/8 > 0 となり、④を満たします。


以上のことから、求める必要十分条件は、③⑤をまとめて、次のようになります。

b = (2/9)a^2+(8/9)a-1/9, a≧1/4

図示したものは添付図の緑線で、端点(1/4,1/8)を含みます。

先ず、xyが実数であるための必要十分条件を求めます。

恒等式 x^3+y^3 =...

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