ここから本文です

a_1,a_2, … ,a_n は正の整数とする。m=Σ{i=1,n}a_i 枚のカードがあり 各々のカー...

sorejaabyebyeさん

2011/12/1621:39:34

a_1,a_2, … ,a_n は正の整数とする。m=Σ{i=1,n}a_i 枚のカードがあり
各々のカードには1からnまでのどれかの数が書いてある。数iが書かれたカードはa_i枚ある。 さて、カードをよく切って裏側にし

n個の山に分けカードを積み
山を左から右に並べる。ただし左からi番目の山にはa_i枚のカードを積み重ねる。
この状態から開始して以下のようなゲーム(1人遊び)をする。

⑴一番左の山の一番上のカードを開く
⑵開かれたカードの数がkであったら、左からk番目の山の一番上のカードを開く、その前に開いたカードは捨てる。
⑶可能な限り⑵を繰り返す。カードが開けなくなった場合このゲームは終了する。

このゲームが終了した時点で、すべてのカードが開かれている確率を m, a_1,a_2 …,a_n を用いたできるだけ簡単な式(分母、分子の次数ができるだけ小さい分数式)で表せ。

解説をよろしくお願いします。

閲覧数:
167
回答数:
1
お礼:
25枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

しぇたにさん

編集あり2011/12/1710:05:20

すべてのカードが開かれる場合、最後に引くカードは1でなくてはなりません。
というのも、仮にゲーム終了直前の残り1枚の状態で、1のカードが全て出尽くしていたとします。
1のカードはa[1]枚ありますので、これは(2)を繰り返す過程で1番の山からカードがa[1]枚引かれたことを意味します。
しかしゲームスタート直後(1)の時点で、1番目の山のカードはa[1]-1枚しかないため、これは不可能です。

さて、すべてのカードをひいてゲームを終了したとき、
引いたカードの番号を順にK[1],K[2],…,K[m](=1)と記録します。
このとき、数列K[1],K[2],…,K[m]がわかれば、次の手順で
もとのカードの並びを一意的に復元することができます。
・左からK[m-1]番目の位置に1のカードをおく。
・左からK[m-2]番目の位置にK[m-1]のカードを置く。
・左からK[m-3]番目の位置にK[m-2]のカードを置く。

・左からK[1]番目の位置にK[2]のカードを置く。
・左から1番目の位置にK[1]のカードを置く。

したがって成功するカードの並びのパターンは、
次の条件を満たす数列K[1],K[2],…,K[m-1]の選び方のパターンにほかなりません。
・K[i]=1,2,…,nとなるiはそれぞれa[1]-1,a[2],…,a[n]個
したがって求める確率の分子は
(m-1)!/{(a[1]-1)!a[2]!a[3]!…a[n]!}
となります。

分母のパターンは、
n種類a[1]枚a[2]枚…a[n]枚のカードをシャッフルし、
上から順にa[1]枚,…,a[n]枚と選べぶパターンに等しく
m!/{a[1]!a[2]!a[3]!…a[n]!}
となります。

したがって求める確率は分子÷分母=a[1]/m

質問した人からのコメント

2011/12/23 21:11:13

降参 回答ありがとうございました! なんとか理解できそうです、またよろしくお願いします。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる