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微分法の公式dの文字の意味がわかりません。

osh********さん

2012/3/207:56:36

微分法の公式dの文字の意味がわかりません。

dx/dt
とか
dv/dt
のdは何を表している文字ですか?

球体の面積の微分
dS/dr=4πr^2/r
=8πr
でなぜいきなり8になるのでしょうか。
dに2という数字を代入しているからですか、だとすればdの意味を教えてください。
意味がわからず困ってます。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ryu********さん

編集あり2012/3/210:25:41

この質問は大変重要な意味があるように思われますので、すでに何人の方が回答しておられますが、私も考えを述べさせていただきます。
dはdifferntiation(微分)からきていると思います。ニュートンがその概念の確立に貢献した重要人物です。日本でも独立に関孝和が微分の概念に達しておりました。
まず、数学の公式を覚える前にその意味を理解しておくことは極めて重要です。
① 微分は関数がゆっくり変わるのか、急激に変わるのか、その変化の仕方を表わすものです。
② 微分の定義は d/dx・f(x)=lim[⊿x→0]{f(x+⊿x)-f(x)}/⊿x です。
微分を考えるときはぜひ①と②は忘れないでください。
③ f(x)=x^m として②の計算をするとd/dx・f(x)=mx^(m-1)となります。これは微分の一つの公式ですが、f(x)=4πr^2 としてこの公式を適用すると8πr となるのです。
今、学校でどの学習段階にあるのはわかりませんが、少なくとも高校生のうちに③の公式を機械的に覚えるのではなく、学習の順序は多少前後してもかまいませんが、ぜひ①、②の意味を良く理解しておいて下さい。
大学の理系の推薦入学の面接のときなどには、このような簡単な微分の問題を尋ねられることがあります。正解を答えても次に必ずと言っていいほどどのように求めたかを尋ねられます。ただ公式を覚えておいて代入したというのでは試験官を失望させます。
微分に関連してはその後、微分方程式というものを学ぶ機会があるかもしれません。力学における物体の運動、放射性元素の放射能の減衰の仕方、光のような波の伝わり方、熱の伝わり方、など多くの物理的性質の本質が微分方程式であらわされます。こういった問題を本当に理解するためにも微分の概念を理解しておくことは極めて大切です。

質問した人からのコメント

2012/3/2 17:35:40

降参 すみません、参考書の前の2ページがくっついていて飛ばしてやってたようなので飛躍しすぎて困ってました。先生のような現実の用途をお話くださる教科書があればよいのですがそのようなものは手元にもなく数学好きで日本語もお上手な方が現れてくださり助かりました。ありがとうございます。

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yum********さん

2012/3/210:47:46

d/dxはxで微分するという意味。

dS/dr=d(4πr^2)/dr
だから4πr^2をrで微分するという意味。
なので
dS/dr=4πd(r^2)/dr=4π*2r=8πr

oko********さん

編集あり2012/3/209:02:49

微分法の現代表現の中で d は differential から来ていると思います。
差分というような意味です。 差分→0 が微分の定義でしょう?
その d を変数の前につけることでその変数の微分であることを表しているのです。

球体の表面積の公式
S = 4πr^2

微分係数は
dS/dr = d(4πr^2)/dr = 4π d(r^2)/dr = 4π x 2r = 8πr
です。

say********さん

2012/3/208:31:10

dは⊿(デルタ)の略で、意味あいとしては「非常に小さい、微小の」くらいで理解しておけば高校生の間は問題ないと思います。

dv/dtは微小な範囲のvの変化を微小な範囲のtで割った結果くらいの感じです。このdv/dtをもってvをtで微分すると言います。dは定数ではないので、2を代入とかそういうのは考えなくてよいです。

球体の表面積の微分に関しては
S=4πr^2より
dS/dr=d4πr^2/dr=4πdr^2/dr=4π・2r=8πr
になります。(微分公式 dr^n/dr=nr^(n-1))

微分公式の導出過程については習った学校か塾の教科書・テキストを参照して下さい。塾や予備校の物理の講義で、まだ習っていない微分を使って問題を解いてるようであれば、数学ⅡとⅢの微積分を頑張って自習するか、いっそ消化不良になるのを防ぐために塾や予備校をやめる方が良いと思います。

yam********さん

2012/3/208:03:13

dはデルタに由来し、導関数であることを示します。また4πr^2をrについて
微分するには(x^a)'=ax^(a−1)の公式を利用して8πrとなります。

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