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線分ABをオイラー線とした三角形はひとつですか?

せんべいさん

2012/3/219:41:18

線分ABをオイラー線とした三角形はひとつですか?

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

Masaki Haraさん

2012/3/220:09:02

本来のオイラー線は線分ではなく直線ですが… http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E...

仮にここでは、三角形の垂心と外心を結ぶ線分をオイラー線と呼ぶことにします。

垂心と外心が一致するのは正三角形のときだけであり、オイラー線は正三角形以外の全ての三角形について定義できます。

ところで、正三角形以外の三角形XYZのオイラー線をPQとすると、三角形XYZに相似な三角形X'Y'Z'をうまくとれば、そのオイラー線PQをABに一致させることができます。

しかし、互いに相似でない三角形は腐るほどあるので、この方法で得られる三角形も多種多様なものになります。

ですから、線分ABをオイラー線とした三角形はひとつではないです。(ただし、三角形の垂心と外心を結ぶ線分がオイラー線だと定義しています)

質問した人からのコメント

2012/3/3 07:12:02

どちらの方のご回答も僕のような中学生にも分かりやすいものでした。
もっと勉強しなければだめですね。中学校もあと2日で卒業ですが
一日一日を大事にしていきたいと思います。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nf1828さん

2012/3/220:51:18

三角形は3点で決まります。1点は2つの座標で決まります。
だから三角形は6つの実数で決まります。自由度は6である
といいます。ほとんどの直線はy=ax+bとかけます。直線の
自由度は2です。だから1つの直線に対してそれをオイラー線
とする三角形は自由度4程度あります。

わざわざ線分と書いてあるから次のような意味だと解釈してみます。
点Oと点Gが与えられたときOを外心、Gを重心とするような三角形
はひとつですか。(垂心Hを使ってもよい)

この条件で三角形を決めようとしたとき、3頂点を6つの実数でおいて
重心がGは2つの方程式になる。外心がOも2つの方程式になる。
未知数6つで方程式4つだから自由度2の解が得られる。すなわち
2つの自由にとれる文字を使って表すことができる。
もちろんひとつではない。

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