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点Pは原点から出発し、次の規則に従って座標表面上を移動するものとする。サイコロ...

mts********さん

2012/3/1814:02:46

点Pは原点から出発し、次の規則に従って座標表面上を移動するものとする。サイコロを一回投げて、1,2,3の目が出ればx軸の正の方向に1だけ移動し、4,5の目が出ればy軸の正の方向に1だけ移動し、

 6の目が出れば移動しない。
サイコロを3回投げた結果、
問1、点Pが(3,0)にある確率。
問2、点Pが(1,2)にある確率。
問3、点Pが(1,1)にある確率。
それぞれ教えてください。

補足点Pが点(a,b)にあるとする。X=a+bとするとき、Xの期待値は何ですか?

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nak********さん

編集あり2012/3/1820:52:05

1,2,3の目が出ればx軸の正の方向に1だけ移動・・・A・・・確率3/6=1/2
4,5の目が出ればy軸の正の方向に1だけ移動し・・・B・・・確率2/6=1/3
6の目が出れば移動しない・・・C・・・確率1/6 とします。

問1 3回投げて、(3,0)にあるので、3回ともAであった場合なので
(1/2)^3=1/8

問2 3回投げて、(1,2)になるので、1回がA、2回がBの場合で
このようになるのは、ABB、BAB、BBAの3通りあるから
3*(1/2)*{(1/3)^2}=1/6
*通常、このような問題は「反復試行の確率」と言われていて
(3C1)*{(1/2)^1}*{(1/3)^2} のように、組合せを用いて式を作る。

問3 3回投げて、(1,1)になるので、Aが1回、Bが1回、Cが1回の場合で
このようになるのは、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りあるから
6*(1/2)*(1/3)*(1/6)=1/6
終わり。


補足を拝見しました。
(a,b)=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)の10種類あります。
①(0,0)となるには、Cが3回で、(1/6)^3=1/216
②(0,1)となるには、Cが2回、Bが1回で、3*{(1/6)^2}*(1/3)=1/36=6/216
③(0,2)となるには、Cが1回、Bが2回で、3*(1/6)*{(1/3)^2}=1/18=12/216
④(0,3)となるには、Bが3回で、(1/3)^3=1/27=8/216
⑤(1,0)となるには、Cが2回、Aが1回で、3*{(1/6)^2}*(1/2)=1/24=9/216
⑥(1,1)となるには、Cが1回、Aが1回、Bが1回で、6*(1/6)*(1/2)*(1/3)}=1/6=36/216
⑦(1,2)となるには、Aが1回、Bが2回で、3*(1/2)*{(1/3)^2}=1/6=36/216
⑧(2,0)となるには、Aが2回、Cが1回で、3*{(1/2)^2}*(1/6)=1/8=27/216
⑨(2,1)となるには、Aが2回、Bが1回で、3*{(1/2)^2}*(1/3)=1/4=54/216
⑩(3,0)となるには、Aが3回で、(1/2)^3=1/8=27/216
*ここで、確率の分数を216のそろえたのは、合計が1になるかの確認と
期待値の計算のためです(先ほどは、この確認をしていませんでしたので
計算が間違っていました。すみません。)
念のため、確認すると、分子が1+6+12+8+9+36+36+27+54+27=216なので
確率の合計が1になりました。

P=a+b=0となるのは、①のときで、確率は1/216
P=a+b=1となるのは、②⑤のときで、確率は(6/216)+(9/216)=15/216
P=a+b=2となるのは、③⑥⑧のときで、確率は(12/216)+(36/216)+(27/216)=75/216
P=a+b=3となるのは、④⑦⑨⑩のときで、確率は、(8/216)+(36/216)+(54/216)+(27/216)=125/216

期待値を求めると
0*(1/216)+1*(15/216)+2*(75/216)+3*(125/216)=5/2です。
終わり。

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