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「3より大きい素数pについて,p^2を12で割ったときの余りを求めよ。」 という問題...

tok********さん

2012/3/2912:19:27

「3より大きい素数pについて,p^2を12で割ったときの余りを求めよ。」
という問題です。答は1です。どのように解けばよいでしょうか?
どなたか教えてください。

補足みなさん回答ありがとうございます。
「pが3より大きい素数⇒pは2の倍数でないかつ3の倍数でない」
まではわかりました。
そのあと,なぜ6でわる話が出てくるのでしょうか?

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kyo********さん

編集あり2012/4/117:49:25

6で割った余りに注目すると、整数はすべて、
6n, 6n±1, 6n±2, 6n+3、(nは整数とする)
のどれかに分類できます。

pが3より大きい素数(2,3の倍数になりえない)であれば、
6nは6の倍数、6n±2は2の倍数、6n+3は3の倍数なので、
p = 6n±1 でないといけません。

p^2 = (6n±1)^2 = 36n^2 ± 12n + 1
= 12(3n^2±n) + 1 となり、
3n^2±nは整数なので、
p^2は、12で割ると1余ることが解ります。

> 「pが3より大きい素数⇒pは2の倍数でないかつ3の倍数でない」
> まではわかりました。
> そのあと,なぜ6でわる話が出てくるのでしょうか?

そこのところは、本質的な話、というより、テクニック上の問題^^です。

pを12で割った余りで分類すると、p^2を12で割ったときの余りは、確実に出せるのですが、
その場合、12で割って、1,5,7,11余る場合の4つの場合について考えないといけません。

pを6で割った余りで考えると、余りが1と5の場合、さらにまとめると、p=6n±1の場合を
考えればいいので、計算は、基本1回で間に合います。

12で割った余りで考える場合でも、p=12n±1と、p=12n±5、
の2つの場合にまとめることもできるのですが…

問題は、6で割った余りで考えて、12で割った余りが出せるのか、のところで、
出せないのであれば、いくら簡単になろうが、意味はありませんが、

計算結果を見れば、解るように、実際に出せてしまいます。

ここんところは、同じような問題を解いたり、計算したことがあったりした、
経験から、これで間に合うな、ということが最初から解っていた、か、

とりあえずいくつか試してやってみたら、これでうまくいくことが解ったか、

最初、12で割った余りで考えて、答えは出せたが、数を小さくして、
計算を楽にできないかな、もっと、チェックする場合をへらせないかな、
と考えて、6で割る手が出てきた、か、

まぁ、そういうことがあって、6で割る手に辿りつき、答案には、
そこらへんを端折って、最初から解っていたような顔をして^^、
書いてしまっている、まぁ、そういうことになります。

例えば、因数分解のたすき掛けで、色々と、試行錯誤はしたけど、
そこらへんは答案に書く必要はない、というのと、同じようなことです。

参考書・教科書の模範回答も、基本的に、そういうふうに、書いてある
ものなので、いきなりこう考えられないと、問題は解けないのか、などと
思うと、ガッカリして、肝心の考え方を、理解したり、覚えたりできなく
なるので、最初どういうふうに考えて、できれば、どういうミスや試行錯誤
をした結果、こういう考えにたどり着いたのだろう、というふうなことを
考えるようにすると、自力で考える力が身に付きやすくなります。

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b_t********さん

2012/3/2912:30:52

3より大きい素数だということは、2の倍数でも3の倍数でもないということ。

つまり、

6n±1

型の数でしかあり得ないということ。

あとはお任せしますね。

gat********さん

2012/3/2912:31:22

Pを6n-1, 6n+1と置いて(6n+2,6n+3,6n+4は素数でないので)
p^2=36n^2±12p+1

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