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絶対値のつく定積分の問題です。 aを正の定数とするとき ∫〔0~1〕|x-a|dx ...

sm2********さん

2012/3/3019:04:01

絶対値のつく定積分の問題です。
aを正の定数とするとき
∫〔0~1〕|x-a|dx

全くわかりません解説お願いします><

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ベストアンサーに選ばれた回答

kak********さん

編集あり2012/3/3019:47:45

まずy=|x-a|のグラフがどのような形になるのか考えます。

x-a>0つまりx>aのとき、|x-a|=x-a
x-a≦0つまりx≦aのとき、|x-a|=-x+a


ここで場合わけをします。

1≦aのとき、
0≦x≦1においてx-a≦0となる。

よって
1≦aのとき
∫〔0~1〕|x-a|dx
=∫〔0~1〕(-x+a)dx
=a-1/2


0<a<1のとき、
0≦x≦aにおいてx-a≦0
a<x≦1においてx-a>0となる

よって、
0<a<1のとき、
∫〔0~1〕|x-a|dx
=∫〔0~a〕(-x+a)dx+∫〔a~1〕(x-a)dx
=a^2-a+1/2


グラフを書いて、①は台形の面積、②は三角形二つの面積として積分を求めたほうが楽かもしれません。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nor********さん

2012/3/3019:37:06

aの値が0<a<1の時と、a≧1の時で場合分けします。
f(x)=|x-a|のグラフは、0<a<1の時、x=aで折れ曲がります。ここで分けて積分を計算しなければなりません。
与式=∫[0~a](a-x)dx+∫[a~1](x-a)dx=(1/2)*a^2+(1/2)*a^2-a+1/2=a^2-a+1/2

a≧1のときは簡単で、与式=∫[0~1](a-x)dx=a-1/2です。

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