縦横高さの長さの和が一定な直方体の中で立方体が最も体積が大きいことの証明

補足

「a=l/3で固定してるから駄目かも」と言われました。 立方体でなく正方形なら子供でも理解できるんですよ。 l=a+bとし、abの最大値を求める。 b=l-aなので、ab=a(l-a)=-a^2+al=-(a-1/2l)+1/4l^2 これは下向きの二次関数なのでa=1/2l⇔a=bのとき面積abは最大値を取る。 このように、正方形なら中学数学でもできる。 これを応用して立体にも敷衍できませんか?

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ベストアンサー

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございます。理解しました。中学数学ができる幼い娘がいるので、中学数学で解ければ教えてあげられるなと思ったのですが、流石に中学数学では無理なようですね。

お礼日時:2012/4/19 9:20

その他の回答(1件)

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だめかも、じゃなくてだめです。 理由はまさに、a=L/3 で固定しているからです。 高校数学になってしまうと思うけれども、 相加相乗平均の関係にまでなら落とせます。 微分まではいかないですみます。 a>0, b>0, c>0 として (a+b+c) >= 3 (abc)^(1/3) (等号成立は a=b=c の時のみ) をなんとか示せば良い訳です。 (a+b) >= 2 √(ab) が普通の相加相乗平均の関係で、これを2回使って (a+b+c+d) >= 4 (abcd)^(1/4) (等号成立は a=b=c=d の時のみ) は分かるでしょう。 そしたらここで、 d = (abcd)^(1/4) となる様にとるのです。 すると、d=(abc)^(1/3) ととれば良い事がわかります。 こうとると、 a+b+c+(abc)^(1/3) >= 4 abc^(1/3) (等号成立は a=b=c=(abc)^(1/3) の時のみ) となります。 ちょっと変形すると、 a+b+c >= 3 abc^(1/3) (等号成立は a=b=c の時のみ) と分かります。 左辺は定数Lなので、a=b=c=L/3 のとき体積は最大になります。

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