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a=(a1.a2).b=(b1.b2)が一次独立<=>a1b2−a2b1≠0の証明がいまいちわからないので教...

dad********さん

2012/4/2023:02:40

a=(a1.a2).b=(b1.b2)が一次独立<=>a1b2−a2b1≠0の証明がいまいちわからないので教えてください!

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ベストアンサーに選ばれた回答

ja_********さん

2012/4/2023:16:37

a=(a1.a2),b=(b1.b2) はベクトルの成分表示とみていいのでしょうか?

2つのベクトルが「1次独立」であるとは、それぞれのベクトルが独立であるということですが、

言い換えれば、2つのベクトルが平行でなければよいということになります。

ベクトルaを直線と見たとき、その傾きはa2/a1となります。bも同様にb2/b1となります。

これらの傾きが等しくならなければ平行にはなりません。

よってa2/a1 ≠ b2/b1 より、a1b2−a2b1≠0 となります。

ただし、この証明の場合は、a1,b1が分母に来ていますので、これらが0の場合は場合分けをしなければなりません。

(i)a1 = 0 のとき ベクトルa=(0,a2)となり、これはy軸に平行な直線です。ベクトルbがこのようにならない条件はb1≠0で、これは

a1b2−a2b1≠0にa1 = 0当てはめれば出てきます。よってa1 = 0 の場合もOKとなります。

(ii)b1 = 0のときも全く同様にできます。

今回は直線の傾きで考えましたが、「2つのベクトルの平行条件」という公式を知っていれば、これは公式そのものなのでもっと単純に求まります。今回は少し詳しく書いてみました。

参考までに。

質問した人からのコメント

2012/4/20 23:26:09

降参 ありがとうございました!

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