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次の平面の方程式を求めよ 1、点(2,1,3)を通り、平面3x+2y-4z=12に平行な...

occ********さん

2012/5/204:02:07

次の平面の方程式を求めよ
1、点(2,1,3)を通り、平面3x+2y-4z=12に平行な平面
2、2点A(1,2,1)、B(3,-1,0)を結ぶ直線ABに垂直で、しかも点(1,-1,2)を通る平面

3,点(1,2,-3)を通り、二つの平面x+y-z=1、3x-2y+z=-4に垂直である平面

よろしくお願いします。

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1. 求める平面をαとし、その法線ベクトルを↑αとします。

平面 3x+2y-4z=12 をβとすると、α//βですから、αとβの法線ベクトルは同じものが使えます。
よって、↑α=(3,2,-4) です。αは (2,1,3) を通るから、αの方程式は

3(x-2)+2(y-1)+(-4)・(z-3)=0
3x+2y-4z+4=0…(答)

2. 求める平面をαとし、その法線ベクトルを↑αとします。

↑AB=(2,-3,-1) です。

α⊥AB なので、↑α//↑AB です。よって、↑α=(2,-3,-1) を採用します。
αが (1,-1,2) を通るので、求める平面αの方程式は

2(x-1)+(-3)・(y+1)+(-1)・(z-2)=0
2x-3y-z-3=0…(答)

3. 求める平面をαとし、その法線ベクトルを↑αとします。

x+y-z=1を平面βとしその法線ベクトルを↑β、3x-2y+z=-4を平面γとしその法線ベクトルを↑γとします。
↑β=(1,1,-1)、↑γ=(3,-2,1) です。

β⊥αより↑β*↑α=0 かつ γ⊥αより↑γ*↑α=0 です。(* はベクトルの内積)
↑α=(a,b,c) とすると、

↑β*↑α=a+b-c=0…(1)
↑γ*↑α=3a-2b+c=0…(2)

(1), (2) より a:b:c = 1:4:5 となるので、↑α=(1,4,5) と置ける。
αは (1,2,-3)を通るので、求める平面αの方程式は

1・(x-1) + 4・(y-2) + 5・(z+3)=0
x+4y+5z+6=0…(答)

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

yur********さん

2012/5/207:22:35

点(a,b,c)を通り、法線ベクトルが(α、β、γ)である平面の方程式は
α(x-a)+β(y-b)+γ(zーc)=0
である
という性質を押さえこの式に条件があてはめられるよう、操作していきます。

1 求める平面は3x+2y-4z=12に平行に平行だから
その法線ベクトルは等しく(3,2,-4)とおくことができ、点(2,1,3)を通るので
その方程式は
3(x-2)+2(y-1)ー4(zー3)=0
∴3x+2yー4z=ー4…(答え)
となります。

2 方程式を求める平面は直線ABに垂直だからその法線ベクトルは
直線ABの方向ベクトルと等しくなるので
法線ベクトルは(3,-1,0)ー(1,2,1)=(2,-3,-1)
また、点(1,-1,2)を通るから求める平面の方程式は
2(x-1)ー3(yー(ー1))ー1(z-2)=0
∴2xー3y-z=3…(答え)
となります

3 求める平面の法線ベクトルを(a、b、c)とすると
その平面はx+y-z=1に垂直であるから
法線ベクトルどうしも垂直となるので
1・a+1・b+(ー1)・c=0
∴a+bーc=0…①
方程式を求める平面は3x-2y+z=-4にも垂直だから同様に
3aー2b+c=0…②
①、②よりb=4aさらにc=5aとなりますから
求める平面の法線ベクトルを
(1,4,5)とすることができます。また、点(1,2,-3)を通るので求める方程式は
1(x-1)+4(y-2)+5(zー(ー3))=0
∴x+4y+5z=ー6…答え
となります

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