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a^2 b^2 c^2 ( 1 / a^3 + 1 / b^3 + 1 / c^3) = a^3 + b ^3 + c^3が成立することを...

tok********さん

2012/6/2020:19:44

a^2 b^2 c^2 ( 1 / a^3 + 1 / b^3 + 1 / c^3) = a^3 + b ^3 + c^3が成立することを証明せよという問題

bがa,cの比例中項であるときには、a^2 b^2 c^2 ( 1 / a^3 + 1 / b^3 + 1 / c^3) = a^3 + b ^3 + c^3が成立することを証明せよ。
画像の一番上の問題です。いろいろ試してみたのですが、結局解けませんでした。
(そもそも何の苦労もなく問題が解けるなら参考書なんて必要ないというのに、どういうわけかこの参考書では難しい内容へと進むに連れて解説や回答が減っていく。何のための参考書なんだ、これは??)
正しい解き方を教えてください。

参考書,2 c,2 b,正しい解き方,問題,比例中項,右辺

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ベストアンサーに選ばれた回答

c_8********さん

2012/6/2020:42:32

そもそも比例中項は理解していますか?
bがa,cの比例中項であるときには
b²=ac…☆
が成り立ちますよね.

ですから

a² b² c² ( 1 / a^³ + 1 / b^3 + 1 / c^3)

=b²c²/a + c²a²/b + a²b²/c

第1項はb²を
第2項は☆を平方してaとcを
第3項もb²を消去してやると

=(ac)c²/a + (b²)²/b + a²(ac)/c

=c³+b³+a³

となり題意が示されます.

>どういうわけかこの参考書では難しい内容へと進むに連れて解説や回答が減っていく

後ろの方になれば実力がつく・・・と考えるのが普通ですから省略していくのは自然だと思います.
もしそれで無理なのであればもう少し基礎を固めてから再挑戦した方がいいですよ.

質問した人からのコメント

2012/6/20 21:00:23

一安心 お二人ともありがとうございました。ac = b^2に着目せずひたすら分数に直してたのが敗因でした。がっくし…(´・ω・`)

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nf1********さん

2012/6/2020:39:16

「bがa,cの比例中項であるとき」とはまた古い言葉ですね。
当然「a,b,cが等比数列であるとき」と書くべきでしょう。

b^2=acを使って左辺と右辺が等しいことを確認すればよい。

左辺=a^2・ac・c^2(1/a^3+1/b^3+1/c^3)
=a^3・c^3(1/a^3+1/b^3+1/c^3)
=c^3+(ac)^3/b^3+a^3
=c^3+b^6/b^3+a^3
=c^3+b^3+a^3=右辺

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