ここから本文です

微分係数と導関数を求める問題 f(x)=e^(-1/x) (x > 0) 0 (x ≦ 0) について...

ura********さん

2012/6/2919:02:01

微分係数と導関数を求める問題

f(x)=e^(-1/x) (x > 0)
0 (x ≦ 0)

について、f'(x)(x≠0),f'(0)を求めよ。また、f'(x)のx=0における連続性を調べよ。

f'(0)は定義に従うと、f'(0)=(f(h)-f(0))/h = ( e^(-1/h) )/h (h→0) となると思うのですが、計算の仕方がわかりません。
計算過程を教えてください。

閲覧数:
131
回答数:
1
お礼:
25枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

c_8********さん

2012/6/3001:38:21

f'(0)=lim[h→0]e^(-1/h)/h
はh→+0の場合なので
h=1/t
で置換すると
h→+0のときt→+∞
ですから

lim[h→+0]e^(-1/h)/h

=lim[t→+∞]te^(-t)

=lim[t→+∞]t/e^t
この極限値はゼロになります.

証明ははさみうちがよく用いられます.
e^t>1 + t + t²/2
を示します.
証明は
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1085499855

つまり

0<t/e^t<t/(1 + t + t²/2)
ここで
lim[t→+∞]0=0
lim[t→+∞]t/(1 + t + t²/2)
=lim[t→+∞]1/(1/t + 1 + t/2)

=0
なのではさみうちの原理から
lim[t→+∞]t/e^t=0
つまり

lim[h→+0]e^(-1/h)/h=0
が得られます.

ただ解答としてはこれでは不十分で
lim[h→-0]=(f(h)-f(0))/h
=lim[h→-0](0-0)/h

=0
も書き添える必要があります.

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる