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コーシー・リーマンの方程式について質問です! z+1/z x^2+iy^2 |xy| の三つ...

son********さん

2012/7/602:51:18

コーシー・リーマンの方程式について質問です!
z+1/z
x^2+iy^2
|xy|
の三つの問題があるのですが、コーシー・リーマンの方程式により、関数の正則性を調べよ。

ということのなのですがコーシー・リーマンの方程式の使い方がよくわからなくて、解けないです><
どなたかお力をかしていただけないでしょうか。

補足上記の三つの式の中で一つでもいいから教えていただけると光栄です

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iii********さん

編集あり2012/7/612:28:10

z=x+iyとしてf(z)=u(x,y)+iv(x,y)という関数だとすると
∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂xがコーシー・リーマンの方程式で
これが成り立つzの範囲で関数f(z)は正則と言える。
但し、1つの孤立点だけで上記式が成り立ちその近傍で成り立たない
点ではその関数は正則ではない。

(1)f(z)=z+1/z
f(z)=z+1/z=x+iy+1/(x+iy)=x+iy+(x-iy)/(x+iy)(x-iy)
=x+iy+(x-iy)/(x^2+y^2)
=x+x/(x^2+y^2)+iy-iy/(x^2+y^2)
=x+x/(x^2+y^2)+i{y-y/(x^2+y^2)}
つまり、u(x,y)=x+x/(x^2+y^2)、 v(x,y)=y-y/(x^2+y^2)
コーシー・リーマンの方程式を計算すると
∂u/∂x=1+{(x^2+y^2)-x・2x}/(x^2+y^2)^2=1+(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2
∂v/∂y=1-{(x^2+y^2)-y・2y}/(x^2+y^2)^2=1-(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2
=1+(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2
から、分母がゼロのx,yともに0であるz=0を除いて∂u/∂x=∂v/∂yが成り立つ。
∂v/∂x=-{0-y・2x}/(x^2+y^2)^2=2xy/(x^2+y^2)^2
∂u/∂y={0-x・2y}/(x^2+y^2)^2=-2xy/(x^2+y^2)^2
から、分母がゼロのx,yともに0であるz=0を除いて∂u/∂y=-∂v/∂xが成り立つ。
以上により、f(z)=z+1/zの関数はz=0の点を除き、f(z)は正則である。
他も同様に考えればできます。

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