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代数学についての質問です。 試験が近いので教えて下さい。 全行列環Mat n(K)...

pot********さん

2012/7/1915:09:59

代数学についての質問です。
試験が近いので教えて下さい。

全行列環Mat n(K)においてすべての行列と可環な行列全体の集合はどれか。Kは可換体でn>1とする。

1 全行列環mat n(k)
2

スカラー行列の全体 つまり単位行列のスカラー倍全体
3 対角行列全体
4 零行列のみ

四元数体を2×2の行列で実現する。このときどれが四元数体を実現しているか

1 [α βバー
-βバー αバー]
2[α β
-β α]
3[α βバー
β αバー]
4[α β
-β α]

123は複素数の範囲
4は実数の範囲です

この問題の考え方とどのような範囲を理解しておく必要があるか教えて下さい。

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tok********さん

2012/7/2615:32:52

前半:
2次元以上の行列では非可換な組が必ずあるので1は除外。
単位行列Eは任意の行列Aに対してAE=A=EAなので
問題の集合にはEが入る。従って4は除外。
体には必ず和の単位元0と積の単位元1が異なる元として含まれるが、
(1 0)と(0 1)をそれぞれA,Bとすると、
(0 0) (0 0)
AB≠BAかつAは対角行列なので、反例が存在し3は除外。
従って、答えは2。
スカラー行列がすべての行列と可換であることを示すのは容易ですし、
その逆は上の反例を一般化すれば導けますが、
選択問題なので証明は必ずしも必要じゃないでしょう。

後半:
恐らくα,βの実部と虚部を1,i,j,kに対応させるものと考えられます。
よって、4は対応させるべき虚部がないので除外。
それぞれを2乗させ、対角成分を見ると、
1は(2,2)成分が(1,1)成分の複素共役になってないので、
積で閉じてないことがわかるので除外。
後はα,βの実部・虚部が1,i,j,kと上手く対応しているか確認。
αの実部が1と対応していると当たりをつけて確認すると、
3は不適切で2が適切であることがわかります。

理解しておくべき範囲としては、それぞれの概念に対し、
定義と性質をしっかり覚えておくこと、と言えますが、
考え方については…。もう数学的センスとしか言いようがないような…。
数学的センスと言っても、この程度なら教科書となる本に載っている基本的な証明を自分で導けるくらいしっかり把握すれば
その頃には自然に身についていると思いますが、
残念ながら「ここだけ押さえれば問題なし」といった類の問題ではありません。

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