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正規分布の関数形について質問させてください。 F(x)=1/(√(2π)σ)exp(-...

ika********さん

2012/7/2804:30:27

正規分布の関数形について質問させてください。

F(x)=1/(√(2π)σ)exp(-(x-μ) ^2/(2σ^2))

正規分布のグラフをエクセルで描きます。

標準偏差σを小さくしていくと、滑らかだった釣鐘型のグラフが平均値μの付近で、だんだんとんがっていきます。σをすごく小さくしていくと、横軸は平均値以外はゼロで、平均値で縦軸に並行な1本の線分に漸近していきます。一様分布のグラフのように見えます。

【質問1】
標準偏差σを限りなく小さく取った極限の関数、
F´(x、σ)=limσ→0{F(x)}を考えることはできるでしょうか。

【質問2】
F´は-∞から+∞まで定積分ができて、∫F´dx=1になるでしょうか。

【質問3】
物理の本(注)にDiracのδ-関数の定義が書いてあります。δ-関数は本当は存在しないと記述があります。上記、F´はδ-関数の定義を満足するでしょうか。もし満足すれば、δ-関数は実在することになるでしょうか。

(注)理論電磁気学(紀伊国屋書店)26~27頁

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ベストアンサーに選ばれた回答

2012/7/2805:33:43

Heat Kernelはご存じでしょうか。
これを知れば、疑問は解消されるものと思われます。

【1】
考えることができます。極限はδ(x-μ)ですね。

【2】
そのとおりです。∫δ(x-μ)dx=1です。

【3】
「実在」するかといわれると回答に困ります。
ただ、δ関数は、矛盾のない数学的な対象物として定義可能です。
超関数の理論として、正当化されています。

参考:
http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_kernel

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0

質問した人からのコメント

2012/7/28 10:05:50

ご回答ありがとうございます。heat kernel知りませんでした。勉強になりました。時間のパラメータtが入っているのがすごいなと感じます。正規分布と対比するとt∝σ^2なので分散は時間に比例しますよね。コタツの中の空気分子の速さの分布について考えてます。座標、時間パラメータはなし。スイッチを入れると熱対流が起こって気体分子の速さは正規分布し、スイッチを切るとσがだんだん小さくなって一様分布になるというものです。

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