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物理の人工衛星の高度を求める問題です。

mos********さん

2012/8/803:58:09

物理の人工衛星の高度を求める問題です。

答えが (gR^2T^2/4π^2)^1/3-R になるそうなのですが、解き方がわかりません。
解き方を教えていただけませんでしょうか?

地球の周りを、地球と同じ周期でまわっている人工衛星は、地上からは静止して見える。地球の半径をR[m]、地上での重力加速度の大きさをg[m/s^2]、周期をT[s]とすると、人工衛星の高度はいくらになりますか?

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nak********さん

2012/8/823:08:33

あのね~、(gR^2T^2/4π^2)^1/3-R は
分かりにくいので適当な括弧を使いましょう。
これは、(g・R^2・T^2/4π^2)^(1/3)-R と書きましょう。
最後の答えは〔g・(T・r/2π)^2〕^(1/3)-R と2乗部分はまとめています。
特に√(1/3)乗は括弧でくくらなければ1乗割る3に見える。
計算が間違ってないか見直してください。多分合っていると思うけど。
これを計算したのが下記です。画面クリックで原図
http://www.fastpic.jp/images.php?file=2922077617.gif
-----------------------------------------------
地球の質量:M (kg)
地球の半径:R (m)
人工衛星の地上よりの高さ:h (m)
人工衛星の地球中心よりの高さ:r (m) = R+h
万有引力定数:G

とすると

質量 m (kg) のものが地球との間に働く力は
万有引力の法則から
m・g = G・(m・M/r^2) ・・・ ①という関係がある。

人工衛星の地上からの高さ h (m) とすると
地球中心からの距離は r = R+h (m)

一方、人工衛星は遠心力が働きながら地球を回っているので
この遠心力は m・v^2/r ・・・ ②

人工衛星の周期 T = 2π・r/v だから、遠心力の式②に代入すると
m・v^2/r = m・r・(2π/T)^2 ・・・ ③

これが万有引力と釣り合うから①と③から
m・r・(2π/T)^2 = G・(m・M/r^2) ・・・ ④

∴r^3 = G・M・(T/2π)^2 ・・・ ⑤

①式から M は M = g・r^2/G を⑤に代入して

r^3 = g・(T・r/2π)^2

∴r = 〔g・(T・r/2π)^2〕^(1/3)
∴人工衛星の高さ h = r-R = 〔g・(T・r/2π)^2〕^(1/3)-R

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kur********さん

2012/8/807:23:55

人工衛星にはたらく
遠心力=万有引力
mr(2π/T)^2=GMm/r^2


地上での重力=地表での万有引力
mg=GMm/R^2

の2式で解きます。

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