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座標平面上に直線 l : y=mx-4m と放物線C : y=1/4x^2 がある。

torimingen777さん

2012/9/1500:34:04

座標平面上に直線 l : y=mx-4m と放物線C : y=1/4x^2 がある。

mは、l とC が異なる2点P , Q で交わるような値をとるとする。また、線分PQ の中点をMとする。
(1) l はm の値にかかわらず、ある定点を通る。この点の座標を求めよ。
(2) m のとりうる値の範囲を求めよ。
(3) 点M の軌跡を求めよ。

補足途中の解説もお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

scsco123さん

2012/9/1500:47:05

(1)m(x-4)-y=0となるのでこれがmの値に関わらず成り立つのは
mの恒等式になるときなので
x-4=0
y=0
∴(x,y)=(4,0)
となるのでこれが求める定点の座標になります。


(2)(1/4)x^2=mx-4m⇔x^2-4mx+16m=0
となりこのxの2次方程式が異なる2つの実数解を持てばそれが
点PとQのx座標になるので求めるmの値の範囲は
(判別式)/4=4m^2-16m=4m(m-4)>0
∴m<0、4<m
となります。


(3)(2)のときPとQのx座標をそれぞれx=p、qとおくと
P(p,mp-4m)、Q(q,mq-4m)となるので
M((1/2)(p+q),(1/2)m(p+q)-4m)
となります。

すると解と係数の関係より
p+q=4m
となるのでM(X,Y)とおくと
X=(1/2)(p+q)=2m
∴m=X/2
Y=(1/2)m(p+q)-4m=2m^2-4m
∴Y=(1/2)X^2-2X
となります。

そして(2)より
X/2<0、4<X/2
∴X<0、8<X
となります。

よってMの軌跡は
放物線:y=(1/2)x^2-2xのx<0、8<xを満たす部分
となります。

質問した人からのコメント

2012/9/15 00:54:40

成功 (3)が分からなかったので分かりやすい解説ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

編集あり2012/9/1500:43:04

(1)(4、0)
(2)m<0、4<m
(3)Y=x^2/2

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