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三角比です。解答が理解できません。教えてください(;_;) 問題 各辺の長さ...

ses********さん

2012/9/2012:13:50

三角比です。解答が理解できません。教えてください(;_;)

問題 各辺の長さ2の正四面体OABCの辺OAの中点をMとし、角BMC=θとするとき、cosθの値を求めよ。です

解答で正四面体であるか

らOM=1、BM=CM=√3までは理解できるのですがそのあとの
三角形MBCにおいて、余弦定理より
cosθ=2×(√3)^2-2^2/2×(√3)^2=1/3

というのがどんな公式から来たのかわからないです(;_;)!
教えてください!

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shi********さん

2012/9/2012:25:43

余弦定理から、
cosθ=(BM^2+CM^2-BC^2)/(2・BM・CM)
なので、
cosθ={(√3)^2+(√3)^2-2^2}/2・(√3)・(√3)

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hon********さん

編集あり2012/9/2014:02:21

BM=CM=√3 がわかっているのならBCがわかれば余弦定理がつかえるでしょ、
正四面体なのだからBCは2だよね。

BC^2=BM^2+CM^2-2BM*CM*cosθ より

cosθ=(BM^2+CM^2-BC^2)/2BM*CM これを解くと

cosθ=(√3^2+√3^2-2^2)/2*√3*√3=1/3

P.S. 字抜けがありましたので訂正しました。

FRIKOさん

2012/9/2012:26:48

余弦定理:cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bcより

∠BMC=A,BC=a,BM=b,CM=cとすると、

cosθ={(√3)^2+(√3)^2-2^2}/2(√3)(√3)

=(3+3-4)/6=2/6=1/3

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nij********さん

2012/9/2012:25:37

axa=a*a=a^2
としています。

<ポイント>
必要なものだけ取り出すこと。

........√3.......C
........*..........|
M......θ.........|..2
........*..........|
.......√3........B

(回答)
題意より、△MBCに置いて、
cos(∠BMC)
=cosθ
=((BM^2+CM^2-BC^2)/(2xBMxCM))
=((3+3-4)/(2x(√3)x(√3)))
=(2/6)
=(1/3)

余弦定理
△ABCに置いて、
BC=a.CA=b,AB=c
とすると、
cosA=((b^2+c^2-a^2)/(2bc))

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