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不定方程式 4x+7y=1の整数解を求めよっていう問題なんですけど、 答えは ...

had********さん

2012/9/2920:38:59

不定方程式

4x+7y=1の整数解を求めよっていう問題なんですけど、


答えは
x=7n-5 y=-4n+3です

最初に整数解の一つを求めますよね?

その時、
答えだとx=-5 y=3を求めてるんです

なんででしょうか?

x=2 y=-1 じゃダメなんですかね?

補足catchyoutrippingさん
最初に見つける整数解に指定はないです…

x=7n+2 y=-4n-1でも良いと言うことですよね

e27182818pi31416さん
なんで
m=n-1にするんでしょうか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

cat********さん

編集あり2012/10/100:43:26

方法はわかりませんが
最初に見つけた整数解がx=-5 y=3だったから
ではないですか?

一次不定方程式は、1組の整数解を
見つけることが解法のポイントになりますが
最初の1組の整数解をx=2,y=-1とすると

4x+7y=1……①

①の1組の整数解をα,βとすると
4α+7β=1……②

①-②から
4(x-α)=7(β-y)……③

4,7は互いに素であるからx-αは7の倍数
したがって、nを整数とすると
x-α=7n……④

④を③に代入すると
β-y=4n……⑤

x=2,y=-1は①を満たすから
④,⑤でα=2,β=-1とおくと
x-2=7n,-1-y=4n

よって、
(x,y)=(7n+2,-4n-1) (nは整数)

この一般解も方程式を満たしますから
解答の一つです。
このように、一般解の表し方は1通りではありません

======
補足

最初に見つけた整数解によって、一般解の表し方は
変わってきます。

x=7n-5 y=-4n+3も
x=7n+2 y=-4n-1も
解です。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

どちらでもOKですね。(^^♪
.
4x+7y=1 …(ア)
.
4・(-5)+7・3=1 …(イ)
.
(ア)-(イ)より、
.
4(x+5)+7(y-3)=0
.
x=7n-5,y=-4n+3
.
.
.
.
4x+7y=1 …(カ)
.
4・2+7・(-1)=1 …(キ)
.
(カ)-(キ)より、
.
4(x-2)+7(y+1)=0
.
x=7m+2,y=-4m-1

ここで、m=n-1とすると、
.
x=7(n-1)+2,y=-4(n-1)-1
.
x=7n-5,y=-4n+3
.
となります。m(__)m
.
.
.
.
.
別解です。
.
4x+7y=1
.
係数の絶対値の小さい文字について解きます。
.
x=(1-7y)/4
.
仮分数は、帯分数に直します。
.
x={(-8y)+(y+1)}/4
.
x=-2y+(y+1)/4
.
x,yは整数なので、
.
(y+1)/4は整数です。
.
y+1は4の倍数なので、
.
y+1=4kとおけます。
.
x=-2(4k-1)+k
.
x=-7k+2
.
k=-n+1とおくと、
.
x=7n-5
.
y=-4n+3

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