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次の代数系が単位的可換環なら☆、単位元のない可換環なら◎、非可換な単位的可換環...

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ID非公開さん

2012/11/1002:05:48

次の代数系が単位的可換環なら☆、単位元のない可換環なら◎、非可換な単位的可換環なら○、単位元のない非可換環なら□、環でないなら×をつけてください。理由もお願いします。

① (Q,+,・)
② (Z/4Z,+,・)
③ (R-Q,+,・)
④ (M2(C),+,・)
M2は2*2行列

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fun********さん

2012/11/1003:08:23

①・・・☆
明らかに環で、単位元1(=1/1)をもち、しかも積について可換だから。
(ついでに言うと整域です。)

②・・・☆
これも和について加群をなし、積について半群をなし、単位元1 mod4を持ち、積の定義より
(a mod4)・(b mod4)=ab mod4=ba mod4=(b mod4)・(a mod4)、つまり可換となります。
(これは整域ではありません:(2 mod4)・(2 mod4)=4 mod4=0 mod4 。)

③・・・×
積について閉じていません:√3・√3=3∈Q
(和についても閉じていません:(1+√2)+(1-√2)=2∈Q 。)
よってそもそも(閉じた演算が定義されたという意味での)代数系ですらありません。

④・・・○
環であることはよいでしょう。
単位元は2次の単位行列で、ところが行列の積は一般に非可換ですから、
非可換な単位的環となります。

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