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∫(0〜2π) {cos3θ/(5-4cosθ)}dθ の解き方を教えてください。

bok********さん

2013/1/1110:13:59

∫(0〜2π) {cos3θ/(5-4cosθ)}dθ
の解き方を教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

tmm********さん

2013/1/1608:45:36

複素積分するしかないのではないでしょうか。

z=e^(iθ)

とおくと、

dz=izdθ

dθ=(1/iz)dz

cos3θ/(5-4cosθ)
=(1/2)(z^3+1/z^3)/(5-4・(1/2)(z+1/z))
=-z(z^6+1)/(2z^3(z-2)(2z-1))

なので、Cをガウス平面上の単位円とすると

∫(0→2π)cos3θ/(5-4cosθ)dθ
=-(1/i)∫(C)(z^6+1)/(2z^3(z-2)(2z-1))dz・・・・①

ここで、積分領域内には、z=0を3位の極、z=1/2を1位の極として持ちます。

Res[-(z^6+1)/(2z^3(z-2)(2z-1)),z=0]
=(1/2)(d^2/dz^2)(-(z^6+1)/(2(z-2)(2z-1)))|z=0
=(1/2)(3(8z^8-50z^7+106z^6-80z^5+20z^4+4z^2-10z+7)/((z^2)^3(2z-1)^3)|z=0
=21/16

Res[-(z^6+1)/(2z^3(z-2)(2z-1)),z=1/2]
=-(z^6+1)/(4z^3(z-2))|z=1/2
=-65/48

よって

=2πi(-1/i)(21/16-24/48)
=π/12

となりますか。

質問した人からのコメント

2013/1/16 11:05:40

ありがとうございます。ご指摘の通り複素関数の問題でした。理解することができました。ありがとうございました。

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