ここから本文です

数列の第k項と初項から第n項までの和を求める問題です

raa********さん

2013/1/2621:04:25

数列の第k項と初項から第n項までの和を求める問題です

数学B

(1)2、2+5、2+5+8、2+5+8+11、…
答え 第k項=1/2k(3k+1) 、 和=1/2n(n+1)^2

(2)1・(2n-1)、3(2n-3)、5(2n-5)、…、(2n-3)・3、(2n-1)・1
答え 第k項=(2k-1)(2n-2k+1) 、 和=1/3n(2n^2+1)


解き方がさっぱりわかりません
どなたかこの問題の解説をお願いします。

閲覧数:
1,488
回答数:
1
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

tm9********さん

2013/1/2622:21:05

(1)
数列{2, 5, 8, 11, ...}の一般項は
初項 2 公差 3 の等比数列だから
a[n] = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1

第 k 項は等差数列a[n]の初項から第 k 項までの和だから
b[k] = {2 + (3k - 1)}k/2 = k(3k + 1)/2

初項から第 n 項までの和は
Σ[k=1][n]( k(3k + 1)/2 )
=(1/2)Σ[k=1][n]( 3k^2 + k )
=(1/2){ 3Σ[k=1][n]( k^2 ) + Σ[k=1][n]( k ) }
=(1/2){ 3n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 }
=(1/2){ n(n+1)(2n+1)/2 + n(n+1)/2 }
=(1/4)n(n+1){ (2n+1) + 1 }
=(1/4)n(n+1){ 2n+2 }
=n(n+1)^2/2


(2)
第 k 項について
(初項1公差2の等差数列)・(2n-(初項1公差2の等差数列))
の形になっているので
a[k] = { 1 + 2(k - 1)}・[2n - { 1 + 2(k - 1)}]
= (2k - 1)・{2n - ( 2k - 1 )}
= (2k - 1)・(2n - 2k + 1)


a[k] = 4nk - 4k^2 + 2k - 2n + 2k - 1
= -4k^2 + 4(n + 1)k - (2n + 1)

Σ[k=1][n]( a[k] )
= -4Σ[k=1][n]( k^2 ) + 4(n+1)Σ[k=1][n]( k ) - (2n+1)Σ[k=1][n]
= -4・n(n+1)(2n+1)/6 + 4(n+1)・n(n+1)/2 - (2n+1)n
= -2n(n+1)(2n+1)/3 + 2n(n+1)^2 - n(2n+1)
= (n/3){ -2(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2 - 3(2n+1) }
= (n/3){ -2(2n^2+3n+1) + 6(n^2+2n+1) -6n -3 }
= (n/3){ -4n^2 -6n -2 + 6n^2 +12n +6 -6n -3 }
= (n/3){ 2n^2 +1 }
= n(2n^2 +1)/3

質問した人からのコメント

2013/1/27 03:13:16

降参 とても丁寧な解説ありがとうございました!!助かりました。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる