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a.bが定数で任意のε>0に対してa<b+εならばa≦bを背理法を用いて証明すると、以下の...

Appleπさん

2013/4/1416:07:44

a.bが定数で任意のε>0に対してa<b+εならばa≦bを背理法を用いて証明すると、以下のようになることは分かるのですが…。

任意のε>0に対してa<b+εならばa>bと仮定する。ε=(a−b)/2

とすると、a<b+(a−b)/2=(a+b)/2
よってa<(a+b)/2を変形して、a<bとなり、矛盾する。よって、a≦bである。

しかし、なぜ、ε=(a−b)/2がいきなり出てきたのかわかりません。どういう発想をすれば良いのでしょうか?もしお分かりの方がいれば、教えてください。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kok********さん

編集あり2013/4/1416:23:26

背理法なので

『任意のε>0に対してa<b+εならばa>bと仮定する。』

を否定したいんですよね。


つまり
a<b+εとならない
εをとりたいわけです。

a<b+ε
⇒a-b<ε

なので

ε>a-bとならない、
つまり

εがa-bより小さい値なら
いいわけです。

だから

ε=(a-b)/2


です。



別に
ε=(a-b)/3でも
ε=(a-b)/4でも
ε=(a-b)/5でも
ε=(a-b)-2でも


εが(a-b)より
小さければ
何でも
いいんですよ。

質問した人からのコメント

2013/4/14 16:28:24

ありがとうございます。とてもわかりやすい説明でより理解が深まりました!

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