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階乗にかかわる不等式の証明で分からない問題があります。 (n!)^2 > (n/2)^n を...

leo********さん

2013/4/1519:00:29

階乗にかかわる不等式の証明で分からない問題があります。

(n!)^2 > (n/2)^n を証明せよ

教えてください。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

Highflyerさん

2013/4/1519:09:17

(n!)^2をどうにか(n/2)^nと比べられるように,次のように考えましょう.
(n!)^2=(1・2・3・・・・n)(n・(n-1)・(n-2)・・・1)={1・n}{2(n-1)}{3(n-2)}・・・{n・1}
ここで,右辺の各因数{k(n+1-k)}について,kとn+1-kはともに自然数で和がn+1なのですから,少なくとも一方はn/2より大きいことがわかります.ですからどのkに対しても{k(n+1-k)}>n/2です.
これにより{1・n}{2(n-1)}{3(n-2)}・・・{n・1}>(n/2)^n,すなわち(n!)^2>(n/2)^nが示されました.

質問した人からのコメント

2013/4/18 14:13:25

この部分の証明を入れて問題が解けました!
ありがとうございます

最初にこの式を思いついた人はすごいですね

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