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2つの円 x^2+y^2-4ax-2ay+20a-25=0…① x^2+y^2=5…② が共有点をもつようなaの値の範...

yui********さん

2013/5/1910:13:09

2つの円 x^2+y^2-4ax-2ay+20a-25=0…① x^2+y^2=5…② が共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ

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tai********さん

2013/5/2200:37:36

図形的に円と円が交わるときってどんなときでしょうか?ポイントとなるのはここです。まず接するときは接線と円の中心と接点を結んだ直線が垂直に交わるので二つの円の共通接線との共通接点とで各円の中心と共通接点とを結んだ直線は同一直線上にあるから各円の半径の和と各円の中心を結んだ半直線の長さが等しくなります。では交わるときは一方の円が円の中心と接点を結んだ半直線に重なることになりますから円の中心と中心を結んだときの直線の距離よりもよりも各円の半径の和のほうが大きくなります。文章で書くとこんなところです。では問題を解いてみましょう。
円①はx^2+y^2-4ax-2ay+20a-25=0⇔
(x-2a)^2+(y-a)^2-5a^2+20a-25=0⇔
(x-2a)^2+(y-a)^2=5a^2-20a+25=0
と変形できるので中心A(2a,a)で半径√(5a^2-20a+25)の円である。
また円②は中心O(0,0)で半径√5の円である。
OAの距離はa√5
ここで前述したことにより5a^2-20a+25+5>=5a^2⇔……☆
20a<=30⇔a<=3/2
多分根号がごちゃごちゃしてお手上げになる場合は多いのでしょうが☆の発想により解決できます。とはいえなかなか理解しにくいと思いますので円と円が交わるとはどういう状態なのか最初に書いておきましたのでよく読んでください。わかれば当たり前のことです。わかりにくい日本語で申し訳ないのですがそんなところです。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2013/5/2204:04:37

一例・概略です。
図を参照してください

●方程式から、共有点を考えると、
②-①
・・・4ax+2ay-20a+25=5

ayについて整理
・・・ay=-2{ax-5(a-1)}

両辺2乗
・・・(ay)^2=4{ax-5(a-1)}^2・・・③

③を{①*a^2}へ代入
・・・(ax)^2+4{ax-5(a-1)}^2=5a^2

整理整理して
・・・(a^2)x^2-8a(a-1)x+20(a-1)^2-a^2=0

判別式(D/4)を考えると
・・・{4a(a-1)}^2-(a^2){20(a-1)^2-a^2}

整理して
・・・-(a^2)(2a-3)(a-2)

共有点を持つので、D≧0から
・・・-(a^2)(3a-2)(a-2)≧0

不等式を解いて
・・・2/3≦a≦2

●補足
a=2/3のとき、円②が①に内接し
・・・円①{中心A(4/3,2/3),半径(5/3)√5}

a=2のとき、②が①に外接し
・・・円①{中心B(4,2),半径2}

a=3/2のとき、円②と①が2点で交わり
・・・円①{中心C(3,3/2),半径5/2}

●注【2つの円が共有点をもつときの条件】を使うと
中心間の距離d、半径R,r(R>r)とすると
・・・R-r≦d≦R+r
√(5a^2-20a+25)≧√5で、d=(√5)aなので、
・・・√(5a^2-20a+25)-√5≦(√5)a≦√(5a^2-20a+25)+√5
0<√(5a^2-20a+25)-5から
・・・{√(5a^2-20a+25)-√5}^2≦{(√5)a}^2
・・・{(√5)a}^2≦{√(5a^2-20a+25)+√5}^2
これらを解いて(√の処理が面倒です)
・・・2/3≦a≦2

一例・概略です。
図を参照してください

●方程式から、共有点を考えると、
②-①...

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